Question

9．如圖所示，光滑半球的半徑為R，球心為O，固定在水平面上，其上方有一個光滑曲面軌道AB，高度為$\frac{R}{4}$．軌道底端水平并與半球頂端相切，質量為m的小球由A點由靜止滑下，最后在水平面上的落點為C（未畫出）．重力加速度為g，則（　�。�

• A． 小球將沿半球表面做一段圓周運動后拋至C點
• B． 小球將從B點開始做平拋運動到達C點
• C． OC之間的距離為R
• D． 小球到C點時的速率為$\sqrt{\frac{5}{2}gR}$

Answer 1

分析 從A到B的過程中，根據機械能守恒可以求得到達B點時的速度，根據圓周運動的向心力公式可以判斷離開B點后的運動情況．

解答 解：A、B、從A到B的過程中，根據機械能守恒可，mg$\frac{1}{4}$R=$\frac{1}{2}$mv²，解得v=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
在B點，當重力恰好作為向心力時，由mg=m$\frac{{V}_{B}^{2}}{R}$，解得V_B=$\sqrt{gR}$，
所以當小球到達B點時，重力大于小球需要的向心力，所以小球將沿半球表面做一段圓周運動后拋至C點，所以A正確，B錯誤．
C、球將沿半球表面做一段圓周運動后做斜下拋運動，拋至C點，所以OC之間的距離大于R．故C錯誤；
D、小球在整個的運動過程中機械能守恒所以到達C點的速度滿足：$mg（R+\frac{1}{4}R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據得：${v}_{C}=\sqrt{\frac{5}{2}gR}$．故D正確．
故選：AD．

點評 本題的關鍵地方是判斷小球在離開B點后的運動情況，根據小球在B點時速度的大小，若小球的重力恰好作為圓周運動的向心力，則離開B后將做平拋運動，若小于臨界速度，則球將沿半球表面做一段圓周運動后做斜下拋運動．