Question

7．如圖所示，區(qū)域Ⅰ、Ⅲ內(nèi)是垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，左邊區(qū)域足夠大、右邊區(qū)域?yàn)橐痪匦�，區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，區(qū)域Ⅲ內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，區(qū)域Ⅱ?yàn)榉较虼怪庇谶吔绲膭驈?qiáng)電場區(qū)，兩條豎直虛線是其邊界線，電場區(qū)域?qū)挾葹閐，一個(gè)帶正電的粒子沿磁場邊界從A點(diǎn)以速度v₀射入左側(cè)磁場區(qū)域，依次通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ區(qū)域運(yùn)行一周后恰回到A點(diǎn)，若粒子在區(qū)域Ⅰ的磁場中的軌道半徑為d，整個(gè)裝置在真空中，不計(jì)粒子的重力，求：
（1）帶電粒子的比荷和區(qū)域Ⅱ內(nèi)電場的電場強(qiáng)度大小．
（2）帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后恰回到A點(diǎn)的時(shí)間T和區(qū)域Ⅲ磁場的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子從A點(diǎn)出發(fā)，依次通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ區(qū)域運(yùn)行一周后恰好回到A點(diǎn)，可知運(yùn)動(dòng)軌跡；根據(jù)帶電粒子在Ⅰ區(qū)域洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)可計(jì)算出比荷；帶電粒子在Ⅲ區(qū)域洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合比荷可計(jì)算粒子在Ⅲ區(qū)域的速度，對粒子通過Ⅱ區(qū)域用動(dòng)能定理可求電場強(qiáng)度；
（2）分段計(jì)算帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、區(qū)域的時(shí)間再求和即可求得回到A點(diǎn)的時(shí)間T；區(qū)域Ⅲ矩形磁場的最小面積為為能覆蓋區(qū)域Ⅲ中圓弧的即可，邊長分別為R和2R．

解答 解：（1）因粒子從A點(diǎn)出發(fā)，依次通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ區(qū)域運(yùn)行一周后恰好回到A點(diǎn)，由對稱性可知粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=d，如右側(cè)上圖．由：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{Bd}$
帶電粒子進(jìn)入Ⅲ區(qū)域的速度為v，由：$qv2B=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，
解得：v=2v₀
帶電粒子通過電場區(qū)域，根據(jù)動(dòng)能定理：$Eqd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：E=$\frac{3}{2}Bd{v}_{0}$
（2）帶電粒子通過Ⅰ區(qū)域的時(shí)間：t₁=$\frac{πd}{{v}_{0}}$
帶電粒子每次通過Ⅱ區(qū)域的時(shí)間：t₂=$\fracuvhcuml{\frac{{v}_{0}+v}{2}}$=$\frac{2d}{{3v}_{0}}$
帶電粒子通過Ⅲ區(qū)域的時(shí)間：t₃=$\frac{πd}{v}$=$\frac{πd}{2{v}_{0}}$
帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后恰回到A點(diǎn)的時(shí)間：T=t₁+2t₂+t₃=$\frac{（9π+8）d}{6{v}_{0}}$
右邊磁場區(qū)域?yàn)橐痪匦危�其最小面積能覆蓋右側(cè)圓弧即可：s=d×2d=2d²
答：（1）帶電粒子的比荷為$\frac{{v}_{0}}{Bd}$，區(qū)域Ⅱ內(nèi)電場的電場強(qiáng)度大小為$\frac{3}{2}Bd{v}_{0}$．
（2）帶電粒子通過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域后恰回到A點(diǎn)的時(shí)間T=$\frac{（9π+8）d}{6{v}_{0}}$，區(qū)域Ⅲ磁場的最小面積為2d²．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)，結(jié)合力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律即可解決．