Question

11．古希臘哲學家芝諾提出了一個著名的運動佯謬，認為飛毛腿阿基里斯永遠追不上烏龜．設阿基里斯和烏龜?shù)乃俣确謩e是v₁和v₂（v₁＞v₂）．開始時，阿基里斯在O點，烏龜在A點，O，A相距為L．當阿基里斯第一次跑到烏龜最初的位置A時，烏龜?shù)搅说诙�個位置B；當阿基里斯第二次跑到烏龜曾在的位置B時，烏龜?shù)搅说谌齻�位置C．如此等等，沒有經過無窮多次，阿基里斯是無法追上烏龜?shù)模?nbsp;
（1）阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時，總共用了多少時間． 
（2）證明經過無窮多次這樣的追趕，阿基里斯可以追上烏龜，并求追上用了多少時間．
（3）可是，人們還是可以替芝諾辯護的，認為他用了一種奇特的時標，即把阿基里斯每次追到上次烏龜所到的位置作為一個時間單位．現(xiàn)稱用這種時標所計的時間叫做“芝諾時”（符號τ，單位：芝諾）．即阿基里斯這樣追趕了烏龜n次的時候，芝諾時τ=n芝諾．試推導普通時與芝諾時的換算關系，即τ=f（t）的函數(shù)關系．

Answer 1

分析 由運動學公式分步確定各段時間，進行求和，由多項式求和公式確定時間的表達式．確定達到∞時對就的時間值．

解答 解：（1）當阿基里斯第一次跑到烏龜?shù)淖畛跷恢肁時，用時 $\frac{L}{{v}_{1}}$，而烏龜已到了第二個位置B，AB=$\frac{{v}_{2}L}{{v}_{1}}$
當阿基里斯第二次跑到烏龜?shù)脑�在位置B時，用時：$\frac{L}{{v}_{1}}+\frac{{v}_{2}L}{{v}_{1}^{2}}$，而烏龜已到了第三個位置C，BC=$\frac{{v}_{2}^{2}L}{{v}_{1}^{2}}$
　　當阿基里斯第二次跑到烏龜?shù)脑�在位置C時，用時：$\frac{L}{{v}_{1}}+\frac{{v}_{2}L}{{v}_{1}^{2}}$+$\frac{{v}_{2}^{2}}{{v}_{1}^{3}}$L
如此等等，阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時，用時：$\frac{L}{{v}_{1}}+\frac{{v}_{2}L}{{v}_{1}^{2}}$+$\frac{{v}_{2}^{2}}{{v}_{1}^{3}}$L+…+$\frac{{v}_{2}^{n-1}}{{v}_{1}^{n}}$L
=$\frac{L}{{v}_{1}}（1+\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}+\frac{{v}_{2}^{2}}{{v}_{1}^{2}}+…\frac{{v}_{2}^{n-1}}{{v}_{1}^{n-1}}）$=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$
（2）當n趨向∞時，$（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}$=0，則時間為$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$，可以追上．
（3）由t=$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$　由此解得：τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{L}t）}{Ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$
答：（1）阿基里斯第n次跑到烏龜曾在的位置N時，總共用時$\frac{L}{{v}_{1}}•\frac{1-（\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}）^{n}}{1-\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$
（2）追上用了時$\frac{L}{{v}_{1}-{v}_{2}}$
（3）τ=f（t）的函數(shù)關系為：τ=n=$\frac{ln（1-\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{L}t）}{Ln\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}}$

點評 考查物理學與數(shù)學知識的結合能力，對于多項式的求和是解題的關鍵，要多練習．