Question

12．隨著我國(guó)登月計(jì)劃的實(shí)施，我國(guó)宇航員登上月球已不是夢(mèng)想；假如我國(guó)宇航員登上月球并在月球表面附近以初速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)時(shí)間t后回到出發(fā)點(diǎn)．已知月球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 月球表面的重力加速度為$\frac{{v}_{0}}{t}$
• B． 月球的質(zhì)量為$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$
• C． 宇航員在月球表面獲得2$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$的速度就才能離開月球表面圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)
• D． 宇航員在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的繞行周期為$\sqrt{\frac{Rt}{{v}_{0}}}$

Answer 1

分析 AB、小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由t=$\frac{2{v}_{0}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}$求出月球表面的重力加速度，物體在月球表面上時(shí)，由重力等于地月球的萬(wàn)有引力求出月球的質(zhì)量．
C、宇航員離開月球表面圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小
D、宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力求得繞行周期．

解答 解：A、小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：$t=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}$，解得${g}_{月}^{\;}=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$，故A錯(cuò)誤；
B、物體在月球表面上時(shí)，由重力等于月球的萬(wàn)有引力得：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}$，解得：$M=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$，故B正確；
C、宇航員離開月球表面圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)至少應(yīng)獲得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小，所以
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}^{\;}R}{t}}$，故C錯(cuò)誤；
D、宇航員乘坐飛船在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)重力提供向心力得：
$m{g}_{月}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R=m\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$
解得：$T=π\(zhòng)sqrt{\frac{2Rt}{{v}_{0}^{\;}}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類型的問(wèn)題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬(wàn)有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．