Question

20．現(xiàn)有固定的光滑直桿AB和光滑弧管道BC，兩者在B處相切并平滑連接，O為圓心．O、A在同一條水平線上，OC豎直，管道BC的半徑為R=0.5m．所對應(yīng)的圓心角為53°．一中間穿孔，直徑略小于管道BC內(nèi)徑，質(zhì)量為m的小球，穿在直桿AB上．用繞過在O點的定滑輪的細(xì)線一端和小球相連，另一端與質(zhì)量為M物塊相連．將小球由A點靜止釋放，當(dāng)小球運動到B處時使細(xì)線斷裂，小球進(jìn)入管道繼續(xù)運動．且到達(dá)C點時速度恰好為零．已知sin53°=0.8．g取10m/s²．求：
（1）小球運動到B點時的速度v_B；
（2）物塊和小球質(zhì)量的比值$\frac{M}{m}$；
（3）在其他條件不變的情況下，若僅改變$\frac{M}{m}$=7，則小球運動到C點時對管道的作用力．

Answer 1

分析 （1）對小球受力分可知析繩子斷裂后，只有重力對小球做功，小球獨自從B點運動到C點，由機(jī)械能守恒定律可求得B點的速度；
（2）對小球由A到B的過程進(jìn)行分析，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立可求得M與m之間的關(guān)系．
（3）分A到B的過程與B到C的過程對兩個物體使用機(jī)械能守恒，即可求出物塊m在C點的速度，然后由向心力的表達(dá)式即可求出物塊受到的作用力，最后由牛頓第三定律說明即可．

解答 解：（1）繩子斷裂后，小球獨自從B點運動到C點，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B²=mgR（1-cos53°）   ①
代入得：v_B=2m/s
（2）繩子斷裂時小球速度與繩垂直，由速度分解知識得，此時M速度為O，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：Mg（$\frac{R}{cos37°}$-R）-mgRcos53°=$\frac{1}{2}$mv_B²+0   ②
解得：$\frac{M}{m}=4$
（3）小球由A點運動到B點過程機(jī)械能守恒
Mg（$\frac{1}{2}$mv_B²-R）-mgRcos53°=$\frac{1}{2}$mv_B²+0   ③
小球B到C點過程機(jī)城能守恒-mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$mv_B²  ④
設(shè)在C點對管對小球的作用力的方向向下，由牛頓第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$    ⑤
解得：N=6.5mg
由牛頓第三定律得，小球?qū)�管的作用力大小�?.5mg
答：（1）小球運動到B點時的速度是2m/s；
（2）物塊和小球質(zhì)量的比值$\frac{M}{m}$是4；
（3）在其他條件不變的情況下，若僅改變$\frac{M}{m}$=7，則小球運動到C點時對管道的作用力是6.5mg．

點評 本題綜合考查機(jī)械能守恒、牛頓第二定律以及S豎直平面內(nèi)的圓周運動，此類問題一定注意做好受力分析以及過程分析，然后根據(jù)題意靈活選擇物理規(guī)律即可正確求解．