Question

14．某空間存在有三個邊界，邊界Ⅰ是一豎直擋板，擋板上有兩個小孔a、b，a、b間的距離為h=20cm；邊界Ⅱ是一豎直粘性擋板，帶電小球碰到此板即被粘住，擋板上有一小孔c，邊界Ⅱ的右方足夠大空間存在有一方向豎直向上，場強大小為E=1.73N/c的勻強電場；在勻強電場中有一虛線邊界Ⅲ，邊界Ⅲ的右方足夠大空間有一方向垂直紙面向里的勻強磁場．其中邊界Ⅰ、Ⅱ之間，Ⅱ、Ⅲ之間的距離均為$d=10\sqrt{3}$cm（如圖所示）．一質量為m=3.46×10^-5kg，電量為q=2.0×10^-4c的帶正電小球，從邊界Ⅰ的a小孔以某一初速度υ₀水平向右飛入該區(qū)域，欲使小球在邊界Ⅲ的右方區(qū)域中做勻速圓周運動且最終能從邊界Ⅰ的b小孔飛出．求：
（1）小孔c與小孔a的豎直距離h₀；
（2）小球從a孔水平向右飛入時的初速度υ₀；
（3）磁感應強度B；
（4）小球從a小孔到達b小孔所花時間t．
（g取10m/s²，π取3，計算結果保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 （1）（2）小球在前兩個板之間做平拋運動，將運動分解即可求出；
（3）由v=gt求出小球在C點的豎直方向的分速度，由速度的合成與分解求出小球在C點的合速度以及合速度的方向；畫出運動的軌跡，由幾何關系求出小球在磁場中運動的半徑，由洛倫茲力提供向心力即可求出B；
（4）結合小球的各段的運動特點，分別求出時間，然后求和即可．

解答 解：依題意，qE=mg，粒子的運動性質依次為平拋運動（t₁），勻速直線運動（t₂），勻速圓周運動（t₃），勻速直線運動，斜拋運動（承接第一次的平拋運動）．
（1）、（2）根據(jù)平拋運動知識d=υ₀t₁…①
$h=\frac{1}{2}g{（2{t_1}）^2}$…②
${h_0}=\frac{1}{2}g{t_1}^2$…③
聯(lián)立①②③得：t₁=0.1s  ${υ_0}=d\sqrt{\frac{2g}{h}}=\sqrt{3}=1.7$m/s   h₀=5.0cm
（3）在c點 υ_y=gt=1m/s 
$tanθ=\frac{υ_y}{υ_0}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
所以：θ=30⁰
根據(jù)幾何關系：$R=\fracr7fy2x1{cosθ}•tanθ=\frac{2}{3}d$
$υ=\frac{υ_0}{cosθ}=2.0$m/s
根據(jù)qυB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上公式，代入數(shù)據(jù)得：$B=\frac{mυ}{qR}=\frac{{3.46×{{10}^{-5}}×2×3}}{{2.0×{{10}^{-4}}×2×10\sqrt{3}×{{10}^{-2}}}}=3.0$T
（4）小球在Ⅱ和Ⅲ之間一定的時間：${t_2}=\fracqjm2rya{υ_0}=0.1$s 
在磁場中運動的時間：${t_3}=\frac{2}{3}T=\frac{2}{3}\frac{2πm}{qB}=\frac{{4×3×3.46×{{10}^{-5}}}}{{2.0×{{10}^{-4}}×3.0×3}}=0.23$s
綜上所述，得：t=2t₁+2t₂+t₃=0.63s
答：（1）小孔c與小孔a的豎直距離是5.9cm；
（2）小球從a孔水平向右飛入時的初速度是1.7m/s；
（3）磁感應強度是3.0T；
（4）小球從a小孔到達b小孔所花時間是0.23s．

點評 本題考查了帶電小球在磁場中的運動，分析清楚小球的運動過程，作出小球的運動軌跡、應用機械能守恒定律、牛頓第二定律、功的計算公式即可正確解題；分析清楚運動過程、作出小球運動軌跡是正確解題的關鍵．