Question

15．如圖所示，兩根相距L₁的平行粗糙金屬導軌固定在水平面上，導軌上分布著n 個寬度為d、間距為2d的勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直水平面向上．在導軌的左端連接一個阻值為R的電阻，導軌的左端距離第一個磁場區(qū)域L₂的位置放有一根質(zhì)量為m，長為L₁，阻值為r的金屬棒，導軌電阻及金屬棒與導軌間的接觸電阻均不計．某時刻起，金屬棒在一水平向右的已知恒力F作用下由靜止開始向右運動，已知金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．

（1）若金屬棒能夠勻速通過每個勻強磁場區(qū)域，求金屬棒離開第2個勻強磁場區(qū)域時的速度v₂的大��；
（2）在滿足第（1）小題條件時，求第n個勻強磁場區(qū)域的磁感應強度B_n的大�。�
（3）現(xiàn)保持恒力F不變，使每個磁場區(qū)域的磁感應強度均相同，發(fā)現(xiàn)金屬棒通過每個磁場區(qū)域時電路中的電流變化規(guī)律完全相同，求金屬棒從開始運動到通過第n個磁場區(qū)域的整個過程中左端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求解
（2）求出金屬棒勻加速運動的位移，根據(jù)運動學公式求出進入第n個磁場的速度，根據(jù)在第n個磁場中的受力平衡求第n個磁場的磁感應強度${B}_{n}^{\;}$
（3）根據(jù)運動學公式結(jié)合動能定理求出電阻上的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬棒勻加速運動有F-μmg=ma
$v_2^2=2a（{L_2}+2d）$
解得：${v_2}=\sqrt{\frac{{2（F-μmg）（{L_2}+2d）}}{m}}$
（2）金屬棒勻加速運動的總位移為  x=L₂+2nd-2d
金屬棒進入第n個勻強磁場的速度滿足  $v_n^2=2ax$
金屬棒在第n個磁場中勻速運動有安F-μmg-F_安=0
感應電動勢$E={B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}$
電流$I=\frac{E}{R+r}=\frac{{B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}}{R+r}$
安培力${F}_{A}^{\;}={B}_{n}^{\;}L{v}_{n}^{\;}$
聯(lián)立得：${F_安}=\frac{{B_n^2L_1^2{v_n}}}{R+r}$
解得：${B_n}=\frac{1}{L_1}\root{4}{{\frac{{m（F-μmg）{{（R+r）}^2}}}{{2{L_2}+4nd-4d}}}}$
（3）金屬棒進入每個磁場時的速度v和離開每個磁場時的速度v'均相同，
由題意可得v²=2aL₂
v²-v'²=2a•2d
金屬棒從開始運動到通過第n個磁場區(qū)域的過程中，有x_總=L₂+3nd-2d
$（F-μmg）{x_總}-{Q_總}=\frac{1}{2}m{v'^2}$
$Q=\frac{R}{R+r}{Q_總}$
解得：$Q=\frac{3R}{R+r}nd（F-μmg）$
答：（1）若金屬棒能夠勻速通過每個勻強磁場區(qū)域，金屬棒離開第2個勻強磁場區(qū)域時的速度v₂的大小$\sqrt{\frac{2（F-μmg）（{L}_{2}^{\;}+2d）}{m}}$；
（2）在滿足第（1）小題條件時，第n個勻強磁場區(qū)域的磁感應強度B_n的大小為$\frac{1}{{L}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{m（F-μmg）（R+r）_{\;}^{2}}{2{L}_{2}^{\;}+4nd-4d}}$；
（3）現(xiàn)保持恒力F不變，使每個磁場區(qū)域的磁感應強度均相同，發(fā)現(xiàn)金屬棒通過每個磁場區(qū)域時電路中的電流變化規(guī)律完全相同，金屬棒從開始運動到通過第n個磁場區(qū)域的整個過程中左端電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{3R}{R+r}nd（F-μmg）$．

點評 本題綜合考查了導體切割磁感線產(chǎn)生的電動勢，牛頓第二定律和能量守恒定律，綜合性較強，關(guān)鍵是理清運動過程，選擇合適的規(guī)律進行求解