Question

18．如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑斜面BC傾角為θ，固定面AB垂直于斜面．在斜面上放置質(zhì)量為m的長(zhǎng)木板，木板中央放置質(zhì)量為m的小物塊，木板和小物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{3}{2}$tanθ，現(xiàn)同時(shí)給木板和小物塊沿斜面向上的初速度v₀．假設(shè)木板與固定面AB發(fā)生碰撞的時(shí)間極短，碰撞前后瞬間速率相等，運(yùn)動(dòng)過程中小物塊始終沒有從木板上滑落．已知重力加速度為g，求：
（1）木板第一次上升的最大高度；
（2）木板第二次與固定面AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率；
（3）為使小物塊和固定面AB不發(fā)生碰撞，求木板長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）木板和小物塊第一次上升過程中，無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，木板機(jī)械能守恒，可求得最大高度．
（2）木板與AB發(fā)生第一次碰撞前，木板和小物塊均無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且機(jī)械能守恒．木板與AB發(fā)生第一次碰撞后仍以速度v₀向上減速運(yùn)動(dòng)，小物塊則以速度v₀向下減速運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律求得兩者的加速度．分析木板的運(yùn)動(dòng)情況，求出第一次碰撞后兩者速度相等所用時(shí)間，再速度位移公式求木板上滑的距離和木板上滑的距離，從而分析兩者的運(yùn)動(dòng)情況，再得到木板第二次與固定面AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率．
（3）臨界狀態(tài)為木板與固定面AB接觸時(shí)，木板、小物塊速度均為零，且物塊處于木板底端．對(duì)全過程運(yùn)用能量守恒定律求解．

解答 解：（1）木板和小物塊第一次上升過程中，無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，木板機(jī)械能守恒，有      
  $mgh=\frac{1}{2}mv_0^2$
解得$h=\frac{v_0^2}{2g}$
（2）木板與AB發(fā)生第一次碰撞前，木板和小物塊均無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且機(jī)械能守恒．木板與AB發(fā)生第一次碰撞后仍以速度v₀向上減速運(yùn)動(dòng)，小物塊則以速度v₀向下減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)此時(shí)木板上滑、小物塊下滑的加速度大小分別為a₁、a₂，由牛頓第二定律有
  mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
  μmgcosθ-mgsinθ=ma₂
因?yàn)閍₁＞a₂，所以木板先減速到零．之后小物塊仍以加速度a₂向下減速，木板則以加速度a₁向下加速．設(shè)沿斜面向下為正方向，速度相等時(shí)的速度為v，所用時(shí)間為t，有
 v=-v₀+a₁t
 v=v₀-a₂t
解得$v=\frac{2}{3}{v_0}≈0.66{v_0}$
木板上滑的距離  ${x_1}=\frac{v_0^2}{{2{a_1}}}=\frac{v_0^2}{5gsinθ}$
木板下滑的距離${x_2}=\frac{{{{（\frac{2}{3}v_0^{\;}）}^2}}}{{2{a_1}}}=\frac{4v_0^2}{45gsinθ}$
$△x={x_1}-{x_2}=\frac{v_0^2}{9gsinθ}$
此后木板和小物塊共同向下勻加速運(yùn)動(dòng)，直至木板第二次與AB發(fā)生碰撞，設(shè)木板第二次與AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率為v₂
則
  $\begin{array}{l}v_2^2-{（\frac{2}{3}{v_0}）^2}=2gsinθ△x\\{v_2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}{v_0}\end{array}$
（3）臨界狀態(tài)為木板與固定面AB接觸時(shí)，木板、小物塊速度均為零，且物塊處于木板底端．對(duì)全過程進(jìn)行分析，由能量守恒定律有   $\frac{1}{2}•2mv_0^2+mg\frac{L}{2}sinθ=μmgcosθ•\frac{L}{2}$
解得$L=\frac{4v_0^2}{gsinθ}$．
答：
（1）木板第一次上升的最大高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）木板第二次與固定面AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率是$\frac{\sqrt{6}}{3}{v}_{0}$；
（3）為使小物塊和固定面AB不發(fā)生碰撞，木板長(zhǎng)度的最小值是$\frac{4{v}_{0}^{2}}{gsinθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是兩個(gè)物體多個(gè)過程的問題，分析物體的運(yùn)動(dòng)過程是基礎(chǔ)，把握臨界條件是解題的關(guān)鍵，解題的基本規(guī)律是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．