Question

14．已知月球半徑為R，飛船在距月球表面高度為R的圓軌道上飛行，周期為T，萬有引力常量為G，下列說法正確的是（　　）

• A． 月球質(zhì)量為$\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
• B． 月球表面重力加速度為$\frac{8{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
• C． 月球密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 月球第一宇宙速度為$\frac{4πR}{T}$

Answer 1

分析 飛船繞月球飛行做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，據(jù)此討論分析即可．

解答 解：飛船在距月球表面高度為R的圓軌道上飛行時(shí)的軌道半徑r=R+R=2R
A、據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}=\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正確；
B、據(jù)月球表面重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，可得月球表面重力加速度g=$G\frac{M}{{R}^{2}}=\frac{32{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)密度公式可知，月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{24{π}^{2}}{G{T}^{2}}$，故C錯(cuò)誤；
D、據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力可得近月圓周運(yùn)動(dòng)的速度即第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{\frac{32{π}^{2}{R}^{2}}{{T}^{2}}}=4\sqrt{2}\frac{πR}{T}$，故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 掌握萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和在月球表面重力與萬有引力相等是解決問題的關(guān)鍵，本題易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)星球半徑與飛船軌道半徑的確認(rèn)．