Question

2．己知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G；
（1）求地球的平均密度ρ；
（2）2016年我國(guó)將發(fā)射“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室，并發(fā)射“神舟Ⅱ號(hào)”載人飛船和“天舟一號(hào)”貨運(yùn)飛船，與“天宮二號(hào)”交會(huì)對(duì)接．假設(shè)“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室進(jìn)入預(yù)定軌道后繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行的周期是T，結(jié)合題干中所給的己知量，求“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室繞地球運(yùn)行時(shí)離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出地球的質(zhì)量，結(jié)合密度公式求出地球的平均密度．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合周期的大小求出軌道半徑，從而得出“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室繞地球運(yùn)行時(shí)離地面的高度．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，對(duì)于在地面處質(zhì)量為m的物體，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ①
又因?yàn)?ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$     ②
由①②兩式解得$ρ=\frac{3g}{4πGR}$．
（2）設(shè)飛船的質(zhì)量為m′，
則$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，④
由①④兩式解得h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）地球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室繞地球運(yùn)行時(shí)離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力等于重力，2、萬(wàn)有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．