Question

如圖所示，OP₁Q₁與OP₂Q₂是位于同一水平面上的兩根金屬導(dǎo)軌，處在沿豎直方向的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，長度相等的導(dǎo)軌OP₁段與OP₂段相互垂直，交于O點(diǎn)．導(dǎo)軌的P₁Q₁與P₂Q₂段相互平行，相距為2b．一根質(zhì)量為m的金屬細(xì)桿，在t=0s時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，在外力作用下以恒定的速度v沿導(dǎo)軌向右滑動(dòng)．在滑動(dòng)的過程中，桿始終保持與導(dǎo)軌的平行段相垂直，速度方向與導(dǎo)軌的平行段相平行，桿與導(dǎo)軌有良好的接觸．假定導(dǎo)軌與金屬桿都有電阻，且每單位長度的電阻都是r．不計(jì)金屬細(xì)桿與軌道之間的摩擦．
（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)，通過金屬桿中的電流多大？
（2）當(dāng)t=

2b

V

時(shí)，金屬桿受到的安培力多大？
（3）從開始運(yùn)動(dòng)到t=

b

V

過程中，外力一共做了多少的功？
（4）若控制外力，使金屬桿從靜止開始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度始終為a，試寫出外力隨時(shí)間變化的規(guī)律．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割求出感應(yīng)電動(dòng)勢的表達(dá)式，通過回路的長度求出回路的電阻，再通過歐姆定律求出感應(yīng)到電流的大小．
（2）當(dāng)t=

2b

V

時(shí)求出導(dǎo)體棒運(yùn)行的位移，根據(jù)幾何關(guān)系求出回路的長度，從而求出回路的電阻，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢和歐姆定律求出感應(yīng)電流的大小，從而得出安培力的大�。�
（3）從開始運(yùn)動(dòng)到t=

b

V

過程中，因?yàn)閷?dǎo)體棒的有效長度均勻增加，電流不變，則安培力均勻增大，求出這段過程中的平均安培力，抓住安培力做的功等于外力做的功求出外力做功的大小．
（4）分兩種情況討論，一種是在位移0-b內(nèi)，一種是位移大于b后，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢和閉合電路歐姆定律求出外力隨時(shí)間變化的規(guī)律．

解答：解：（1）切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢E=BLV，回路中的電阻R=（2

2

Vt+2Vt）r，
根據(jù)歐姆定律得：
I1=

BLV

R

=

B?2Vt?V

(2 2 Vt+2Vt)r

=

BV

( 2 +1)r

（2）當(dāng)t=

2b

V

時(shí)，導(dǎo)體棒的有效長度為2b，回路中的總電阻為R=(2

2

b+4b)r，
根據(jù)歐姆定律得：
I2=

BLV

R

=

B?2b?V

(2 2 b+4b)r

=

BV

( 2 +2)r

則安培力的大�。�FA=BI2L=B

BV

( 2 +2)r

?2b=

2B2bV

( 2 +2)r

．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得：W_F-W_A=0
WF=WA=

0+FAmax

2

?b=

1

2

B

BV

( 2 +1)r

2b?b=

B2Vb2

( 2 +1)r

．
（4）分兩段討論：
①0≤t≤

2b a

S=

1

2

at2，V=at，I1=

Bat

( 2 +1)r

．
F₁-BI₁?2S=ma
F1=ma+

B2a2

( 2 +1)r

t3．
②t＞

2b a

R=

.

2 2 b+2(S-b)+ 2b

.

r=(2

2

b+at2)r
I2=

B?2b?at

R

=

2abBt

(2 2 b+at2)r

F2=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

．
答：（1）金屬桿在正交的OP₁、OP₂導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)，通過金屬桿中的電流為

BV

( 2 +1)r

．
（2）當(dāng)t=

2b

V

時(shí)，金屬桿受到的安培力為

2B2bV

( 2 +2)r

．
（3）從開始運(yùn)動(dòng)到t=

b

V

過程中，外力一共做功為

B2Vb2

( 2 +1)r

．
（4）當(dāng)0≤t≤

2b a

，F1=ma+

B2a2

( 2 +1)r

t3．當(dāng)t＞

2b a

時(shí)，F2=ma+

4ab2B2t

(2 2 b+at2)r

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，注意需區(qū)別導(dǎo)體棒位移0-b內(nèi)以及位移大于b兩種情況．