Question

13．設在地球上對準月球發(fā)射一枚飛行器．該飛行器離開地球表面不久燃料就用盡并達到最大速度，以后靠慣性飛向月球且到達了月球．設地球質量為M₁，月球質量為M₂，地球與月球的球心距離為L，不考慮地球自轉及月球公轉的影響，則當火箭離地球球心距離為$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$時，火箭的速度最小．

Answer 1

分析 飛行器無動力飛向月球時，受到地球引力和月球引力的作用，地球引力對其做負功，月球引力對其做正功，當?shù)厍蛞�力大于月球引力時，合力做負功，飛行器動能減小，動能減小，若月球引力大于地球引力時，合力做正功，飛行器動能增大，速度增大．由此可知，飛行器速度最小時，地球引力與月球引力大小相等．

解答 解：由題意知，飛行器飛向月球時，當?shù)厍蛞�力與月球引力大小相等時，飛行器的速度最小，令此時飛行器距地球距離為x，則飛行器距月球距離為L-x，根據(jù)萬有引力定律有：
$G\frac{{M}_{1}m}{{x}^{2}}=G\frac{{M}_{2}m}{（L-x）^{2}}$
由此解得：x=$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$
故答案為：$\frac{\sqrt{{M}_{1}}}{\sqrt{{M}_{1}}+\sqrt{{M}_{2}}}L$

點評 本題抓住飛行器無動力飛行，合外力做正功飛行器的速度增大，合外力做負功飛行器的速度減小，由于飛行器從地球起飛，故開始時地球引力大于月球引力，合外力做負功，動能減小，速度減小，據(jù)此得到速度最小時的臨界條件是地球和月球對其的引力大小相等．