Question

5．如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連．小球可以從D進入該軌道，沿軌道內側運動，從E滑出該軌道進入EF水平軌道．小球由靜止從A點釋放，已知AB長為5R，CD長為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動摩擦因數均為0，5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R．求：
（1）小球滑到斜面底端C時速度的大�。�
（2）小球剛到C時對軌道的作用力．
（3）要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R’應該滿足什么條件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多遠？
注：在運算中，根號中的數值無需算出．

Answer 1

分析 （1）對球從A運動至C過程運用動能定理列式求解即可；
（2）在C點，重力和支持力的合力提供向心力；根據牛頓第二定律列式求解支持力；然后再結合牛頓第三定律求解壓力；
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道．情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的點（設為Q）時，速度減為零，然后滑回D．由動能定理列出等式求解．

解答 解：（1）設小球到達C點時速度為v，a球從A運動至C過程，由動能定理有
mg（5Rsin37°+1.8R）-μmgcos37°•5R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得   ${v_c}=\sqrt{5.6gR}$
（2）小球沿BC軌道做圓周運動，設在C點時軌道對球的作用力為N，由牛頓第二定律得
 $N-mg=m\frac{v_c^2}{r}$，其中r滿足   r+r•sin53°=1.8R 
聯(lián)立上式可得：N=6.6mg          
由牛頓第三定律可得，球對軌道的作用力為6.6mg，方向豎直向下． 
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道．則小球b在最高點P應滿足$m\frac{{{v_P}^2}}{R^'}≥mg$
小球從C直到P點過程，由動能定理，有$-μmgR-mg•2{R^'}=\frac{1}{2}m{v_P}^2-\frac{1}{2}m{v_c}^2$
可得    ${R^'}≤\frac{23}{25}R=0.92R$
情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點時，速度減為零，然后滑回D．則由動能定理有$-μmgR-mg•{R^'}=0-\frac{1}{2}m{v_c}^2$，R′≥2.3R
若R′=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，設其能向左滑過DC軌道，并沿CB運動到達B點，在B點的速度為v_B，則由能量守恒定律有  $\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{1}{2}m{v_B}^2+mg•1.8R+2μmgR$
由⑤⑨式，可得     v_B=0
故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球將在兩圓軌道之間做往返運動，小球將停在CD軌道上的某處．設小球在CD軌道上運動的總路程為S，則由能量守恒定律，有$\frac{1}{2}mv_c^2=μmgS$
由⑤⑩兩式，可得   S=5.6R                   
所以知，b球將停在D點左側，距D點0.6R處．      
答：
（1）小球滑到斜面底端C時速度的大小為$\sqrt{5.6gR}$；
（2）小球對剛到C時對軌道的作用力為6.6mg；
（3）要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R′應該滿足：R′≤0.92R或R′≥2.3R；若R′=2.5R，小球最后所停位置距D點0.6R處．

點評 此題要求正確分析小球的運動狀態(tài)和運動過程，熟練掌握動能定理、能量守恒定律、圓周運動等規(guī)律，包含知識點多，難度較大，屬于難題．