Question

15．如圖所示，一端封閉、粗細(xì)均勻的U形細(xì)管，管道水平部分長(zhǎng)為L(zhǎng)、豎直部分長(zhǎng)1.5L，管內(nèi)有一段長(zhǎng)度為L(zhǎng)的水銀柱封閉一段氣柱．U形管靜止不動(dòng)時(shí)水銀柱恰好在管道的水平部分，當(dāng)U形管繞開(kāi)口臂的軸線勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，處于u形管水平部分的水銀柱的長(zhǎng)度為$\frac{L}{2}$．設(shè)水銀的密度為ρ（kg/m³），大氣壓強(qiáng)是p₀（Pa）．求：
（i）U形管轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為多大？（不考慮氣體溫度的變化）
（ii）不斷增大角速度ω，能否使水銀柱全部進(jìn)入封閉端豎直管內(nèi)？（只要回答“能”或“否”即可）

Answer 1

分析 取水平管內(nèi)水銀柱為研究對(duì)象，它在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由合外力提供向心力，求水銀柱兩側(cè)壓力差，即可求得被封閉的氣柱的壓強(qiáng)．

解答 解：（1）設(shè)U形管橫截面積為S，管道轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)被封閉氣體的壓強(qiáng)為p，由氣體狀態(tài)方程可得
${p}_{0}^{\;}•1.5LS=p•LS$
解得：$p=1.5{p}_{0}^{\;}$
取水平部分的水銀柱為研究對(duì)象，向心力是由這段水銀柱兩側(cè)的壓力差提供的．受力分析如圖所示，

由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)及牛頓第二定律得$pS+\frac{1}{2}ρgLS-{p}_{0}^{\;}S=\frac{1}{2}ρLS{ω}_{\;}^{2}•\frac{3}{4}L$
解得：$ω=\frac{2}{3L}\sqrt{\frac{3（{p}_{0}^{\;}+ρgL）}{ρ}}$
（Ⅱ）否
全到豎直管水銀柱不能平衡，水銀柱上面的壓強(qiáng)比大氣壓大，再加上水銀柱的重力，大氣壓不能把它壓上去
答：（i）U形管轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為$\frac{2}{3L}\sqrt{\frac{3（{p}_{0}^{\;}+ρgL）}{ρ}}$
（ii）否       全到豎直管是平衡不了的

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵：一是正確選取研究對(duì)象．二是要明確水平管內(nèi)水銀柱需要的向心力是由水銀柱兩側(cè)的壓力差提供的．