Question

7．彈跳最高的矮個(gè)子：斯巴德•韋伯身高1.70m．昵稱為“土豆”的他，竟在1986年“扣籃大賽”中奪得“扣籃王”稱號(hào)，成為NBA的傳奇．假設(shè)韋伯和球質(zhì)量為m，和球一起以速度v₀離開地面還能豎直上升h（上升過程只受重力作用）．已知地球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）地球的平均密度；
（2）衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的最大環(huán)繞速度．

Answer 1

分析 （1）由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出地球表面的重力加速度，根據(jù)重力等于萬有引力求出地球質(zhì)量，由密度定義求出地球的平均密度；
（2）根據(jù)地球表面近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度最大，由$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$可求解最大環(huán)繞速度

解答 解：（1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有$g=\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$
地球表面物體的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得地球的質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}$
根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{v}_{0}^{2}}{8πGRh}$
（2）根據(jù)$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
得最大環(huán)繞速度$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{Rv}_{0}^{2}}{2h}}$
答：（1）地球的平均密度$\frac{3{v}_{0}^{2}}{8πRGh}$；
（2）衛(wèi)星繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的最大環(huán)繞速度$\sqrt{\frac{R{v}_{0}^{2}}{2h}}$

點(diǎn)評(píng) 該題關(guān)鍵抓住在地球表面萬有引力等于重力和密度公式，最大的環(huán)繞速度即第一宇宙速度，知道公式中各個(gè)物理量的含義，難度不大．