Question

5．在科學(xué)研究中，可以通過(guò)加適當(dāng)?shù)拇艌?chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的控制，如圖甲所示的xoy平面處于磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)與xoy平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t做周期性變化，如圖乙所示，一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子（不計(jì)重力）以初速度V₀由O點(diǎn)沿x軸正方向射入磁場(chǎng)．各物理量滿足t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$．

（1）若t=0時(shí)粒子射入磁場(chǎng)，求t=t₀時(shí)粒子的位置坐標(biāo)．
（2）若粒子在某一時(shí)刻t′射入磁場(chǎng)，粒子不會(huì)穿越x軸，且其縱坐標(biāo)始終不超過(guò)某一定值y₀．

Answer 1

分析 帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑公式與周期公式，即可求出t=0時(shí)粒子射入磁場(chǎng)，求t=t₀時(shí)粒子的位置坐標(biāo)，以及t′．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{mv}{q{B}_{0}}$
則：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
由于：t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$=$\frac{1}{6}$T
所以若t=0時(shí)粒子射入磁場(chǎng)，t=t₀時(shí)粒子偏轉(zhuǎn)的角度是60°，如圖，由幾何關(guān)系得：

$x=r•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$；$y=r（1-cos60°）=0.5r=\frac{mv}{2q{B}_{0}}$
即坐標(biāo)為：（$\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$，$\frac{mv}{2q{B}_{0}}$）
（2）由于粒子在0-t₀時(shí)間內(nèi)向上偏轉(zhuǎn)，t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在2t₀-3t₀時(shí)間內(nèi)向下偏轉(zhuǎn)，在3t₀-4t₀時(shí)間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)…，粒子的運(yùn)動(dòng)具有周期性，若粒子不會(huì)穿越x軸，則粒子在運(yùn)動(dòng)的第一個(gè)周期內(nèi)就不會(huì)穿越x軸，所以向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間要大于等于向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，則粒子開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻要在$\frac{1}{2}$t₀之前；
若其縱坐標(biāo)始終不超過(guò)某一定值，則粒子在運(yùn)動(dòng)的第一個(gè)周期內(nèi)向上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間要小于等于向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，則粒子開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻要在$\frac{1}{2}$t₀之后；
總上所述，可知，要同時(shí)滿足粒子不會(huì)穿越x軸，且其縱坐標(biāo)始終不超過(guò)某一定值y₀．粒子開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻要是$\frac{1}{2}$t₀時(shí)刻．
答：（1）若t=0時(shí)粒子射入磁場(chǎng)，t=t₀時(shí)粒子的位置坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}mv}{q{B}_{0}}$，$\frac{mv}{2q{B}_{0}}$）．
（2）若粒子在某一時(shí)刻t′射入磁場(chǎng)，粒子不會(huì)穿越x軸，且其縱坐標(biāo)始終不超過(guò)某一定值y₀．t′必須是$\frac{1}{2}$t₀時(shí)刻．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，分析粒子的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)求解坐標(biāo)．