Question

圖中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為u,兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力

（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量。
（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為，求離子乙的質(zhì)量。
（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問(wèn)磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)。

Answer 1

1）由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，它所受到的向上的磁場(chǎng)力和向下的電場(chǎng)力平衡，有                   ①
式中
，v是離子運(yùn)動(dòng)的速度，E0是平行金屬板之間的勻強(qiáng)電場(chǎng)的強(qiáng)度，有
        ②
由①②式得：
③
在正三角形磁場(chǎng)區(qū)域，離子甲做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)離子甲質(zhì)量為m，
由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有：   ④
式中，r是離子甲做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。離子甲在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓，圓心為O：這半圓剛好與EG邊相切于K，與EF邊交于I/點(diǎn)。在ΔEOK中，OK垂直于EG。
由幾何關(guān)系得           ⑤
由⑤式得 ⑥
聯(lián)立③④⑥式得,離子甲的質(zhì)量為 ⑦
（2）同理，有洛侖茲力公式和牛頓第二定律有  ⑧
式中，和分別為離子乙的質(zhì)量和做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。離子乙運(yùn)動(dòng)的圓周的圓心必在E、H兩點(diǎn)之間，又幾何關(guān)系有

⑨
由⑨式得⑩
聯(lián)立③⑧⑩式得，離子乙的質(zhì)量為    ⑾
（3）對(duì)于最輕的離子，其質(zhì)量為，由④式知，它在磁場(chǎng)中做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。因而與EH的交點(diǎn)為O，有⑿
當(dāng)這些離子中的離子質(zhì)量逐漸增大到m時(shí)，離子到達(dá)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)的位置從點(diǎn)沿邊變到點(diǎn)；當(dāng)離子質(zhì)量繼續(xù)增大時(shí)，離子到達(dá)磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)的位置從點(diǎn)沿邊趨向于點(diǎn)。點(diǎn)到點(diǎn)的距離為⒀

略