Question

17．兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行直導(dǎo)軌MN、PQ與水平面成θ=37°放置，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)=10cm，M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R=1Ω的電阻．一根質(zhì)量為m=20g的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．整套裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，它們的電阻不計(jì)．現(xiàn)讓ab桿由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑，至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，電阻R中產(chǎn)生的焦耳熱為Q=0.0375J，求：
（1）求ab桿下滑的最大速度v_m；
（2）ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，下滑的距離x；
（3）ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量q．

Answer 1

分析 （1）先分析桿的運(yùn)動(dòng)情況，確定什么條件下桿的速度達(dá)到最大．在分析桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)，注意由于桿的速度逐漸變大因此安培力將逐漸變大，所以桿從導(dǎo)軌上做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)安培力等于重力沿導(dǎo)軌分力時(shí)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)速度達(dá)到最大．
（2）桿下滑過(guò)程中，重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為電路中的焦耳熱和桿的動(dòng)能，因此根據(jù)功能關(guān)系可求出ab桿下滑的距離x；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均電流，然后根據(jù)Q=It即可求出電量．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：
E=BLv
根據(jù)歐姆定律有：
I=$\frac{E}{R}$
根據(jù)安培力公式有：
F_A=BIL
根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsinθ-F_A=ma
聯(lián)立即得：
mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma
當(dāng)加速度a為零時(shí)，速度v達(dá)最大，速度最大值：
v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.02×10×1×0.6}{{2}^{2}×0．{1}^{2}}$=3m/s
（2）設(shè)ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速率的過(guò)程通過(guò)的位移大小為x．
根據(jù)能量守恒定律有：
mgxsinθ=$\frac{1}{2}$mv_m²+Q
得：x=$\frac{Q}{mgsinθ}$+$\frac{\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}}{mgsinθ}$=$\frac{0.0375}{0.02×10×0.6}+\frac{\frac{1}{2}×0.02×{3}^{2}}{0.02×10×0.6}$=1.0625m
（3）通過(guò)電阻R的電荷量 q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLx}{R}$=$\frac{2×0.1×1.0625}{1}$=0.2125C
答：（1）求ab桿下滑的最大速度為3m/s；
（2）ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，下滑的距離x為1.0625m；
（3）ab桿由靜止釋放至達(dá)到最大速度的過(guò)程中，通過(guò)電阻R的電量q為0.2125C．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，知道感應(yīng)電荷量的公式量q=$\frac{△Φ}{R}$，再結(jié)合平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象，