Question

6．小船在靜水中速度為5m/s，河水速度為3m/s，河寬600m，求：
（1）若要小船以最短時間過河，開船方向怎樣？最短時間為多少？小船在河水中實際行駛的距離是多大？
（2）若要小船以最短距離過河，開船方向怎樣（即船頭與河岸上游或下游夾角）？過河時間為多少？（結果可用三角函數表示，如有根式，可化簡后保留）

Answer 1

分析 （1）船航行時速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當以靜水中的速度垂直河岸過河的時候渡河時間最短．由矢量合成的平行四邊形定則得知小船的合速度，小船實際以合速度做勻速直線運動，進而求得位移的大小；
（2）小船以最短距離過河時，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：（1）船頭垂直于岸渡河時間最短，最短時間：
t_min=$\frachqhyahj{{v}_{船}}$=$\frac{600}{5}$=120s
合速度：v=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$m/s
實際距離：S=vt=$\sqrt{34}$×120=120$\sqrt{34}$m
（2）設船頭與河岸上游的夾角為θ，當合速度與河岸方向垂直時，渡河航程最短．
有：cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：θ=53°
合速度的大小為：v=v_船sinθ=5×0.8m/s=4m/s，
則渡河的時間為：t=$\fracnxuywmr{v}$=$\frac{600}{4}$s=150s
答：（1）若要小船以最短時間過河，船頭垂直于岸渡河，最短時間為120s，小船在河水中實際行駛的距離是120$\sqrt{34}$m；
（2）若要小船以最短距離過河，開船的方向與河岸上游的夾角為53°，過河的時間為150s．

點評 小船過河問題屬于運動的合成問題，要明確分運動的等時性、獨立性，運用分解的思想，看過河時間只分析垂直河岸的速度，分析過河位移時，要分析合速度．