Question

2．如圖，質(zhì)量為m的小球放在質(zhì)量為M的大球頂上，M的下端距地面的高度為h．現(xiàn)將二者同時(shí)無初速度釋放，二者落下撞擊地面后又彈起．已知該過程可視為M先與地面相碰，然后再立即與m相碰．假設(shè)所有的碰撞都是彈性的，且都發(fā)生在豎直軸上．若經(jīng)過上述過程后，M的速度為零．空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g，求：
（1）$\frac{M}{m}$的值；
 （2）m彈起的高度是h的幾倍．

Answer 1

分析 （1）下落過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒求解小球第一次與地面相碰前的瞬間的速度，然后對(duì)兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)使用動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能守恒，即可求出二者質(zhì)量之間的關(guān)系；
（2）小球與大球碰撞后上升的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒列式求解最大高度．

解答 解：（1）下落過程中，兩個(gè)球的機(jī)械能守恒，得：
Mgh+mgh=$\frac{1}{2}$（M+m）${v}_{0}^{2}$
大球反彈后說得對(duì)方向向上，與小球碰撞的過程中二者的豎直方向的動(dòng)量守恒，選取向上為正方向，則：
Mv₀-mv₀=0+mv₂
又由于 是彈性碰撞，則滿足：$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=0+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立可得：${v}_{2}=2{v}_{0}=2\sqrt{2gh}$，$\frac{M}{m}=3$
（2）m向上彈起的過程中機(jī)械能守恒，得：$mgH=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：H=4h
即m彈起的高度是h的4倍．
答：（1）$\frac{M}{m}$的值是3；
 （2）m彈起的高度是h的4倍．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查碰撞過程中的動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，但涉及的過程比較多，較為復(fù)雜．在解答的過程中要注意對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的把握，正確選擇合理、合適的公式．