Question

8．一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩，一端拴在水平軸O上，另一端有一個(gè)質(zhì)量為m的小球．現(xiàn)使細(xì)繩位于水平位置并且繃緊，如圖所示．給小球一個(gè)瞬間的作用，使它得到一定的向下的初速度
（1）這個(gè)初速度至少多大，才能使小球繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)？
（2）如果在軸O的正上方A點(diǎn)釘一個(gè)釘子，已知AO=$\frac{2}{3}$L，小球以（1）問中的最小速度開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的正上方，細(xì)繩剛接觸到釘子時(shí)，繩子的拉力多大？

Answer 1

分析 （1）恰好通過最高點(diǎn)，重力充當(dāng)向心力，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解初速度；
（2）小球在最高點(diǎn)繩子的拉力與重力的合力提供向心力，可根據(jù)牛頓第二定律列式求解拉力．

解答 解：（1）球恰好經(jīng)過最高點(diǎn)P，速度取最小值，故只受重力，重力提供向心力：mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
設(shè)初速度為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理知-mgL=$\frac{1}{2}$mv²$-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得v₀=$\sqrt{3gL}$
（2）當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的正上方，速度大小仍為$\sqrt{gL}$，
半徑變?yōu)?\frac{1}{3}$L，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律知：
T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{1}{3}L}$，
解得：T=2mg
答：（1）這個(gè)初速度至少為$\sqrt{3gL}$，才能使小球繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；
（2）如果在軸O的正上方A點(diǎn)釘一個(gè)釘子，已知AO=$\frac{2}{3}$L，小球以（1）問中的最小速度開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的正上方，細(xì)繩剛接觸到釘子時(shí)，繩子的拉力為2mg．

點(diǎn)評(píng) 本題小球做變速圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)重力和拉力的合力提供向心力，同時(shí)結(jié)合動(dòng)能定理列式求解．