Question

19．如圖所示，光滑固定導(dǎo)軌abc與fed相距l(xiāng)=0.1m，其中ab、fe段是傾角θ=60°的直軌道，bc、ed段是半徑r=0.6m的圓弧軌道且與ab、fe相切，軌道末端c、d點(diǎn)切線與一放置在水平地面上、質(zhì)量M=2kg、長(zhǎng)為L(zhǎng)=4m的木板上表面平滑連接．在abef間有垂直于軌道平面向下、B=10$\sqrt{ST}$的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，定值電阻R=1Ω．把質(zhì)量為m=1kg、電阻不計(jì)的金屬桿從距b、e高h(yuǎn)=1m的導(dǎo)軌上靜止釋放，桿在直軌道上先加速后勻速下滑．如果桿與木板間摩擦因數(shù)μ=0.2，木板與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.05，取g=10m/s²，忽略桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，求：
（1）桿運(yùn)動(dòng)到cd時(shí)對(duì)軌道的壓力F大小及桿由靜止下滑到cd的過程中R上產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（2）桿最后離圓弧軌道末端c、d點(diǎn)的距離x．

Answer 1

分析 （1）據(jù)題意，桿在直軌道上先加速后勻速下滑，到達(dá)be前已經(jīng)勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件和安培力與速度的關(guān)系式，可求出勻速運(yùn)動(dòng)的速度，由動(dòng)能定理研究桿從be到cd的過程，求得桿經(jīng)過cd處的速度大小，由牛頓第二定律、第三定律求解桿對(duì)軌道的壓力．再根據(jù)能量守恒定律求出R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）桿滑上木板后做勻減速運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)桿與木板的速度相等時(shí)，由牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出桿和木板的位移，之后整體一起做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停止，求出整體勻減速的加速度和位移，最后求出桿最后離圓弧軌道末端c、d點(diǎn)的距離x

解答 解：（1）設(shè)桿滑到be處時(shí)速度為v₁，由題意知此時(shí)桿勻速下滑，有：
   BlI-mgsinθ=0…①
   E=Blv₁…②
   I=$\frac{E}{R}$…③
由①②③聯(lián)立得：v₁=$\frac{mgRsinθ}{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}}$=$\frac{1×10×1×sin60°}{（10\sqrt{5}）_{\;}^{2}×0．{1}_{\;}^{2}}$m/s=$\sqrt{3}$m/s…④
由能量守恒：
  mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²+Q…⑤
則得：Q=mgh-$\frac{1}{2}$m ${v}_{1}^{2}$=1×10×1-$\frac{1}{2}$×1×（ $\sqrt{3}$）²=8.5J…⑥
設(shè)桿滑到cd處時(shí)速度為v₂，桿受到軌道支持力為F′，由動(dòng)能定理有：
 mg•r（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²…⑦
cd處：F′-mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$…⑧
由牛頓第三定律：F=F′…⑨
聯(lián)解④⑦⑧⑨得：F′=2mg（1-cosθ）+m $m\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$=2×1×10×（2-cos60°）-$1×\frac{（\sqrt{3}）_{\;}^{2}}{0.6}$=25（N）…⑩
（2）由⑦得：v₂=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+2gr（1-cos60°）}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）_{\;}^{2}+2×10×0.6×（1-cos60°）}$m/s=3m/s
桿滑上木板后，桿與木板在相互間摩擦力作用下運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t共同運(yùn)動(dòng)，則：
對(duì)桿：μmg=ma，a=μg=0.2×10=2（m/s²）…⑪
對(duì)木板：μmg=Ma′，a′=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.2×1×10}{2}$=1（m/s²）…⑫
共同運(yùn)動(dòng)時(shí)有：v₂-at=a′t…⑬
則得：t=$\frac{{v}_{2}^{\;}}{a+a′}$=$\frac{3}{2+1}$s=1s…⑭
此過程桿的位移 x=v₂t-$\frac{1}{2}$at²=3×1-$\frac{1}{2}$×2×12=2（m）…⑮
木板的位移 x′=$\frac{1}{2}$a′t²=$\frac{1}{2}$×1×12=0.5m…⑯
桿相對(duì)木板的位移△x=x-x′=2m-0.5m=1.5m＜L
木板和桿在地面的摩擦力作用下，一起勻減速到停止的位移x″
對(duì)整體：$a″=\frac{{μ}_{1}^{\;}（M+m）g}{M+m}={μ}_{1}^{\;}g=0.5$⑰
此過程位移$x″=\frac{{v}_{共}^{2}}{2a″}=\frac{{1}_{\;}^{2}}{2×0.5}=1m$⑱
桿最后離圓弧軌道末端c、d點(diǎn)的距離x=x+x″=2+1=3m
答：（1）桿運(yùn)動(dòng)到cd時(shí)對(duì)軌道的壓力F大小為25N，桿由靜止下滑到cd的過程中R上產(chǎn)生的焦耳熱Q為8.5J；
（2）桿最后離圓弧軌道末端c、d點(diǎn)的距離x為3m

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，分析桿的運(yùn)動(dòng)過程是關(guān)鍵，對(duì)于平衡狀態(tài)，分析和計(jì)算安培力是關(guān)鍵．對(duì)于桿在板上滑行過程，也可以根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合求解．