Question

8．河寬d=200m，水流速度v₁=3m/s，船在靜水中的速度v₂=5m/s．求：
（1）欲使船渡河時(shí)間最短，船應(yīng)怎樣渡河？最短時(shí)間是多少？船經(jīng)過的位移多大？
（2）欲使船航行距離最短，船應(yīng)怎樣渡河？渡河時(shí)間多長？

Answer 1

分析 船實(shí)際參與了兩個分運(yùn)動，沿船頭指向的勻速運(yùn)動和沿水流方向的勻速運(yùn)動，兩分運(yùn)動同時(shí)發(fā)生，互不影響，因而渡河時(shí)間等于沿船頭方向分運(yùn)動的時(shí)間；當(dāng)合速度與河岸垂直時(shí)，渡河位移最�。�

解答 解：（1）船頭垂直于河岸航行時(shí)所用時(shí)間最短，此種情況渡河時(shí)間為t₁=$\fraclt73lrz{{v}_{2}}$=$\frac{200}{5}$s=40s；
此時(shí)船沿河岸方向的位移為x=v₁t₁=3×40m=120m；
那么船經(jīng)過的位移大小為s=$\sqrt{zbvbpx5^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{20{0}^{2}+12{0}^{2}}$=40$\sqrt{34}$m；
（2）渡河位移最短，船頭要偏向上游，設(shè)于河岸夾角為θ，則有v₁=v₂cosθ，
由幾何關(guān)系，則有：sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$；
因此解得：θ=53°；
此時(shí)渡河時(shí)間為t₂=$\frac5fx5lv5{{v}_{2}sinθ}$=$\frac{200}{5×\frac{4}{5}}$s=50s；
答：（1）欲使船渡河時(shí)間最短，船垂直河岸，最短時(shí)間為40s，船經(jīng)過的位移大小為40$\sqrt{34}$m；
（2）欲使船航行距離最短，船航行速度與河岸所成角的余弦值為$\frac{3}{5}$（或53°），渡河時(shí)間50 s．

點(diǎn)評 船渡河問題關(guān)鍵要記住最小位移渡河與最短時(shí)間渡河兩種情況，時(shí)間最短與位移最短不會同時(shí)發(fā)生．