Question

6．如圖所示，在虛線MN上方有一水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小未知，在虛線MN下方有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，O是虛線上的一點(diǎn)，一質(zhì)量為m，帶電量為-q的小球從O點(diǎn)開(kāi)始以初速度v₀向左上方運(yùn)動(dòng)，小球恰好能做直線運(yùn)動(dòng)，方向與水平方向的夾角為θ，當(dāng)小球回到O點(diǎn)后進(jìn)入MN下方的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，并能經(jīng)過(guò)O點(diǎn)正下方的A點(diǎn)，求：
（1）小球做直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，電勢(shì)能改變量的最大值；
（2）小球從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間；
（3）小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）小球在上方的電場(chǎng)中恰好能做直線運(yùn)動(dòng)，則受到電場(chǎng)力和重力的合力必然與初速度相反，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做負(fù)功，當(dāng)速度減為0時(shí)，電勢(shì)能改變量最大；
（2）在上方電場(chǎng)中做勻減速運(yùn)動(dòng)，求出時(shí)間，再將在下方電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻變速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻加速運(yùn)動(dòng)，求解時(shí)間；
（3）求出在A點(diǎn)水平方向和豎直方向的分速度，再合成即可得到速度的大小．

解答 解：（1）在MN上方小球先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做負(fù)功，當(dāng)速度減為0時(shí)，電勢(shì)能改變量最大．受力如圖，有：

qE₁tanθ=mg       
F_合=$\frac{mg}{sinθ}$=ma
解得：E₁=$\frac{mg}{qtanθ}$，a=$\frac{g}{sinθ}$
減速運(yùn)動(dòng)的位移：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}=\frac{{v}_{0}^{2}sinθ}{2g}$                 
電場(chǎng)力做功：W=qE₁xcos（π-θ）=-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}$θ
則電勢(shì)能改變量的最大值為：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}$θ
（2）小球在上方的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程：2v₀=at₁      
解得：t₁=$\frac{2{v}_{0}sinθ}{g}$
再次回到O點(diǎn)時(shí)，v=v₀      
從O點(diǎn)到A點(diǎn)過(guò)程，水平方向：qE=ma_x，2v₀cosθ=a_xt₂     
解得：t₂=$\frac{2m{v}_{0}cosθ}{qE}$
從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{2{v}_{0}sinθ}{g}+\frac{2m{v}_{0}cosθ}{qE}$
（3）到A點(diǎn)時(shí)：v_x=v₀cosθ，v_y=v₀sinθ+gt₂         
v_A=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$?
解得：v_A=$\frac{{v}_{0}}{qE}$$\sqrt{{q}^{2}{E}^{2}+2mgqEsin2θ+4{m}^{2}{g}^{2}co{s}^{2}θ}$     
答：（1）電勢(shì)能改變量的最大值為$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}co{s}^{2}$θ；
（2）小球從O點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{2{v}_{0}sinθ}{g}+\frac{2m{v}_{0}cosθ}{qE}$；
（3）小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\frac{{v}_{0}}{qE}$$\sqrt{{q}^{2}{E}^{2}+2mgqEsin2θ+4{m}^{2}{g}^{2}co{s}^{2}θ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解時(shí)間、速度．