Question

6．探月宇航員在距月球表面高h(yuǎn)處繞月圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v₀，月球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球表面的重力加速度g_月；
（3）在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）飛船繞月圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解月球的質(zhì)量M；
（2）在月球表面，物體的重力等于萬(wàn)有引力，據(jù)此列式求解月球表面的重力加速度g_月；
（3）在月球表面，衛(wèi)星的重力提供向心力，據(jù)此列式求解衛(wèi)星的第一宇宙速度v₁．

解答 解：（1）對(duì)飛船，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v_0^2}{R+h}$
解得：M=$\frac{{v}_{0}^{2}（R+h）}{G}$；
（2）對(duì)月面物體，有：mg_月=$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}$，
其中：M=$\frac{{v}_{0}^{2}（R+h）}{G}$，
故：${g}_{月}=\frac{（R+h）{v}_{0}^{2}}{{R}^{2}}$；
（3）對(duì)近月衛(wèi)星，有：
mg_月=$m\frac{v_1^2}{R}$
其中：${g}_{月}=\frac{（R+h）{v}_{0}^{2}}{{R}^{2}}$，
故${v}_{1}={v}_{0}\sqrt{\frac{（R+h）}{R}}$；
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{{v}_{0}^{2}（R+h）}{G}$；
（2）月球表面的重力加速度為$\frac{（R+h）{v}_{0}^{2}}{{R}^{2}}$；
（3）在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度為${v}_{0}\sqrt{\frac{（R+h）}{R}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的向心力來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律列式分析，同時(shí)要明確在星球表面重力等于萬(wàn)有引力，不難．