Question

3．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)它們的引力作用．如圖，設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．已知引力常量為G，關(guān)于四星系統(tǒng)（忽略星體自轉(zhuǎn)的影響），下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 四顆星的向心加速度的大小為$\frac{2\sqrt{2}Gm}{{L}^{2}}$
• B． 四顆星運(yùn)行的線速度大小是$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$
• C． 四顆星表面的重力加速度均為G$\frac{m}{{R}^{2}}$
• D． 四顆星的周期均為2πL$\sqrt{\frac{2L}{Gm（1+2\sqrt{2}）}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的引力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度、線速度和周期．在星球表面上，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．

解答 解：任一星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑均r=$\frac{\sqrt{2}}{2}L$，
根據(jù)$\frac{G{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}+\frac{\sqrt{2}G{m}^{2}}{{L}^{2}}=ma$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$r\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，a=$\frac{（2\sqrt{2}+1）Gm}{2{L}^{2}}$，v=$\sqrt{\frac{Gm}{L}（1+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$=$\sqrt{\frac{Gm（1+2\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}L}}$，T=2πL$\sqrt{\frac{2L}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故A、D錯(cuò)誤，B正確．
根據(jù)$G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故C正確．
故選：BC．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．