Question

18．如圖所示，一絕緣?形彎桿由兩段直桿PQ、MN和一半徑為R的半圓環(huán)連接組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)，PQ、MN水平且足夠長，半圓環(huán)MAP段是光滑的，現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小環(huán)套在MN桿上．且小環(huán)在運動過程中始終受到一個大小為$\frac{3}{4}$mg的水平向左的恒力作用．小環(huán)與PQ、MN間動摩擦因數(shù)均為0.25，現(xiàn)使小環(huán)在距離M點右側(cè)2R的D點以某一初速度向左運動，小環(huán)剛好能到達(dá)P點，求：
（1）小球在D點的初速度大小v₀；
（2）若將小環(huán)移至M點右側(cè)6R處由靜止開始釋放（設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等），小環(huán)第一次通過與O等高的A點時對彎桿的作用力大��；
（3）若小環(huán)仍從距M點右側(cè)6R處由靜止釋放，小球在運動過程中在水平桿上運動的總路程．

Answer 1

分析 （1）小環(huán)從D至P過程中，運用動能定理列式，即可求解；
（2）小環(huán)由靜止釋放運動到A的過程，根據(jù)動能定理，求出小環(huán)通過A點時的速度；對小環(huán)在A點受力分析由牛頓第二定律及牛頓第三定律即可求解；
（3）小環(huán)最終在M點左側(cè)與OM成74°圓弧內(nèi)運動，對整個過程，由動能定理求解．

解答 解：（1）因小環(huán)剛好能到達(dá)P點，則v_P=0，由動能定理得：
$\frac{3}{4}$mg•2R-mg•2R-μmg•2R=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
（2）在小環(huán)由M點到A點的過程中，由動能定理得：
$\frac{3}{4}$mg•7R-mg•R-μmg•6R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A點，由牛頓第二定律得：N-$\frac{3}{4}$mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：N=$\frac{25}{4}$mg
根據(jù)牛頓第三定律知，小環(huán)第一次通過與O等高的A點時對彎桿的作用力大小為：N′=N=$\frac{25}{4}$mg
（3）小環(huán)最終在M點左側(cè)與OM成74°圓弧內(nèi)運動，對整個過程，由動能定理得：$\frac{3}{4}$mg•6R-μmgS=0
可得小球在運動過程中在水平桿上運動的總路程為：S=18R
答：（1）小球在D點的初速度大小v₀為$\sqrt{2gR}$．
（2）小環(huán)第一次通過與O等高的A點時對彎桿的作用力大小為$\frac{25}{4}$mg．
（3）小球在運動過程中在水平桿上運動的總路程為18R．

點評 要正確分析小環(huán)最終的狀態(tài)，根據(jù)動能定理列出表達(dá)式求解．運用動能定理解題需合適地選取研究的過程，要明確滑動摩擦力做功與總路程有關(guān)．