Question

6．宇航員到達某星球的表面，在一定的高度h以水平方向拋出一小球，初速為v，已知小球落地的速度為$\sqrt{2}$v，已知該星球半徑為R，自傳周期為T，求：
（1）在該星球上發(fā)射一顆環(huán)繞星球表面飛行的衛(wèi)星所需要的速度？
（2）在該星球上發(fā)射一顆同步衛(wèi)星，它距星球表面的高度應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)平拋運動的規(guī)律求出星球表面的重力加速度，根據(jù)重力提供向心力求出發(fā)射的速度大小．
根據(jù)同步衛(wèi)星的周期，根據(jù)萬有引力提供向心力求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出同步衛(wèi)星的高度．

解答 解：（1）根據(jù)平行四邊形定則知，落地時豎直分速度${v}_{y}=\sqrt{2{v}^{2}-{v}^{2}}=v$，
則星球表面的重力加速度g=$\frac{{v}^{2}}{2h}$．
根據(jù)mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{v}^{2}R}{2h}}$．
（2）同步衛(wèi)星的周期與自轉(zhuǎn)周期相等，
根據(jù)$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，GM=gR²得，
h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=$\root{3}{\frac{{v}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$-R．
答：（1）在該星球上發(fā)射一顆環(huán)繞星球表面飛行的衛(wèi)星所需要的速度為$\sqrt{\frac{{v}^{2}R}{2h}}$；
（2）它距星球表面的高度應(yīng)為$\root{3}{\frac{{v}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$-R．

點評 本題考查了平拋運動與萬有引力定律理論的綜合，掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力．并能靈活運用．