Question

3．如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿，其左端與右端分別固定著質(zhì)量都是m的A、B兩小球，桿可繞離左端$\frac{1}{4}$處的水平軸O無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)．開始時(shí)，將桿拉至水平狀態(tài)．求桿由靜止釋放至A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的過(guò)程中：
（1）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)的角速度．
（2）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)A球和B球的線速度的大小．
（3）A球從由靜止釋放轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能的變化量．
（4）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)A球?qū)�桿的作用力．
（5）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)水平軸O受到的作用力．

Answer 1

分析 （1）因A、B兩球共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故兩球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，對(duì)A、B兩球組成的系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，結(jié)合速度關(guān)系即可求得A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)的角速度．
（2）由公式v=ωr求A球和B球的線速度．
（3）A球從由靜止釋放轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能的變化和重力勢(shì)能的變化量求機(jī)械能的變化量．
（4）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)A球，運(yùn)用牛頓第二定律求出桿A球的作用力，再得到A球?qū)�桿的作用力．
（5）同理可求得B球?qū)�桿的作用力，從而得到水平軸O受到的作用力．

解答 解：（1）以B在最低點(diǎn)為零勢(shì)能面，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：
   2mgL=mgL+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
又有 v_A=ω•$\frac{L}{4}$，v_B=ω•$\frac{3L}{4}$
聯(lián)立解得：ω=$\frac{2}{5}\sqrt{\frac{10g}{L}}$
（2）由1中得 v_A=$\frac{1}{10}$$\sqrt{10gL}$，v_B=$\frac{3}{10}\sqrt{10gL}$
（3）A球從由靜止釋放轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能的變化量為：
△E=△E_k+△E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+mg$\frac{L}{4}$=$\frac{3}{10}$mgL
（4）設(shè)桿對(duì)A球作用力為豎直向下的拉力N₁．
根據(jù)牛頓第二定律得：
   N₁+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
結(jié)合v_A=$\frac{1}{10}$$\sqrt{10gL}$，解得 N₁=-$\frac{3}{5}$mg
所以桿對(duì)小球A作用力為豎直向上的支持力，大小為$\frac{3}{5}$mg．
（5）設(shè)桿對(duì)B球向上的拉力為N₂．
根據(jù)牛頓第二定律得：
   N₂-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
結(jié)合v_B=$\frac{3}{10}\sqrt{10gL}$，解得 N₂=$\frac{11}{5}$mg
所以桿對(duì)小球B作用力為豎直向上的拉力，大小為$\frac{11}{5}$mg．
所以O(shè)點(diǎn)受到作用力 F=N₁+N₂=$\frac{14}{5}$mg
答：
（1）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)的角速度是$\frac{2}{5}\sqrt{\frac{10g}{L}}$．
（2）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)A球和B球的線速度的大小分別為$\frac{1}{10}$$\sqrt{10gL}$和$\frac{3}{10}\sqrt{10gL}$．
（3）A球從由靜止釋放轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能的變化量是$\frac{3}{10}$mgL．
（4）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)A球?qū)�桿的作用力是$\frac{3}{5}$mg．
（5）A球轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)時(shí)水平軸O受到的作用力是$\frac{14}{5}$mg．

點(diǎn)評(píng) 本題要明確A、B球機(jī)械能均不守恒，但A與B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程兩個(gè)球的角速度相等，在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)，均由合力提供向心力．