Question

8．如圖甲所示，一長為l=1m的輕繩，一端穿在過O點的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球，整個裝置繞O點在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動．給系統(tǒng)輸入能量，使小球通過最高點的速度不斷加快，通過傳感器測得小球通過最高點時，繩對小球的拉力F與小球在最高點動能E_k的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度為g，不考慮摩擦和空氣阻力，請分析并回答以下問題：

（1）若要小球能做完整的圓周運動，對小球過最高點的速度有何要求？（用題中給出的字母表示）．
（2）請根據(jù)題目及圖象中的條件求出小球質(zhì)量m的值．（g取10m/s²）
（3）求小球從圖中a點所示狀態(tài)到圖中b點所示狀態(tài)的過程中，外界對此系統(tǒng)做的功．
（4）當(dāng)小球達(dá)到圖乙中b點所示狀態(tài)時，立刻停止能量輸入．之后的運動過程中，在繩中拉力達(dá)到最大值的位置，輕繩繃斷，求繃斷瞬間繩中拉力的大�。�

Answer 1

分析 （1）在最高點，由牛頓第二定律可求小球能做完整的圓周運動滿足的條件；
（2）在最高點，由牛頓第二定律并結(jié)合圖象信息可求小球質(zhì)量和擺線長度；
（3）由圖象得斜率，根據(jù)動能定理求外界對系統(tǒng)做的功；
（4）應(yīng)用機械能守恒定律和牛頓第二定律求繃斷瞬間繩中拉力的大�。�

解答 解：（1）小球剛好通過最高點做完整圓運動要求在最高點受力滿足：mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
因此小球過最高點的速度要滿足：v≥$\sqrt{gl}$．
（2）小球在最高點時有：mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{l}$  又因為：E_K=$\frac{1}{2}$mv²，
所以繩對小球的拉力F與小球在最高點動能E_k的關(guān)系式為：F=$\frac{2{E}_{K}}{l}$-mg，
由圖象知，當(dāng)E_K=1.0J時，F(xiàn)=0，代入上式得到：mgl=2.0J；又已知l=1m，則小球的質(zhì)量m=0.2kg．
（3）由F=$\frac{2{E}_{K}}{l}$-mg知：圖線的斜率值為：$\frac{2}{l}$=2N/J，因此對應(yīng)狀態(tài)b，F(xiàn)_b=4.0N，可求出小球在最高點的動能：$\frac{{E}_{kb}-1.0}{4.0}$=$\frac{1}{2}$，于是得到：E_Kb=3.0J
對小球從狀態(tài)a到狀態(tài)b的過程，有：W=E_Kb-E_K=3.0-1.0=2.0J，
即：外界對系統(tǒng)做的功為2.0J．
（4）在停止能量輸入之后，小球在重力和輕繩拉力作用下在豎直面內(nèi)做圓周運動，運動過程中機械能守恒．當(dāng)小球運動到最低點時，繩中拉力達(dá)到最大值．
設(shè)小球在最低點的速度為v，對從b狀態(tài)開始至達(dá)到最低點的過程應(yīng)用機械能守恒定律，有：mg•2l=$\frac{1}{2}$mv²-E_Kb；
設(shè)在最低點繩中拉力為F_m，由牛頓第二定律有：F_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
兩式聯(lián)立解得：F_m=16N，
即：繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N．
答：
（1）若要小球能做完整的圓周運動，對小球過最高點的速度滿足：v≥$\sqrt{gl}$；
（2）小球質(zhì)量為0.2kg；擺線長度為1m；
（3）外界對此系統(tǒng)做的功為2.0J；
（4）繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N．

點評 本題主要考查了圓周運動向心力公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能根據(jù)圖象獲取有效信息，難度適中．熟練運用牛頓第二定律和機械能守恒定律也是解答此題的關(guān)鍵．