Question

7．宇航員站在一行星表面，從高度H處以初速度V₀水平拋出一個小球．小球落地點與拋出點之間的水平距離為L．已知該行星的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）該行星的質(zhì)量M；
（2）該行星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球在星球表面做平拋運動，根據(jù)水平方向做勻速直線運動，豎直放置做自由落體運動求解重力加速度，再根據(jù)這個小球受的重力約等于行星給它的引力求解質(zhì)量；
（2）行星表面附近繞行星做勻速圓周運動的物體受到的引力提供它的向心力，根據(jù)向心力公式求解第一宇宙速度．

解答 解：（1）該行星表面的重力加速度為g，由平拋運動規(guī)律：$H=\frac{1}{2}g{t^2}$
L=v₀t
解得：$g=\frac{{2H{v_0}^2}}{L^2}$
這個小球受的重力約等于行星給它的引力：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
可得：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{2H{v_0}^2{R^2}}}{{G{L^2}}}$
（2）該行星表面附近繞行星做勻速圓周運動的物體受到的引力提供它的向心力$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：第一宇宙速度$v=\frac{v_0}{L}\sqrt{2HR}$
答：（1）該行星的質(zhì)量M為$\frac{2H{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$；
（2）該行星的第一宇宙速度為$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2HR}$．

點評 本題是萬有引力與平拋運動的綜合，要抓住平拋運動的加速度就等于重力加速度，能熟練運用運動的分解法處理平拋運動，根據(jù)萬有引力等于重力求天體的質(zhì)量．