Question

9．某研究所正在研究一種電磁剎車裝置，試驗小車質(zhì)量m=2kg，底部有一個匝數(shù)n=100匝，邊長a=0.01m的線圈，線圈總電阻r=1Ω，在試驗中，小車（形狀可視為簡化為正方形線圈）從軌道起點由靜止出發(fā)，通入右邊的勻強(qiáng)磁場區(qū)域ABCD，BC長d=0.20m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，磁場方向豎直向上，整個運(yùn)動過程中不計小車所受的摩擦及空氣阻力，小車在軌道連接處運(yùn)動時無能量損失．

（1）當(dāng)試驗小車從h=1.25m高度無初速度釋放，求小車前端剛進(jìn)入AB邊界時產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的大小．
（2）在第（1）問，小車進(jìn)入磁場后作減速運(yùn)動，當(dāng)小車末端到達(dá)AB邊界時速度剛好減為零，求此過程中線圈產(chǎn)生的熱量．
（3）再次改變小車釋放的高度，使得小車尾端剛好能到達(dá)CD處，求此高度h′．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小車前端剛進(jìn)入AB邊界時的速度，再由公式E=BLv求感應(yīng)電動勢．
（2）小車進(jìn)入磁場后作減速運(yùn)動，動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求線圈產(chǎn)生的熱量．
（3）對線圈進(jìn)出磁場的過程，運(yùn)用動量定理列式，再結(jié)合感應(yīng)電量 q=n$\frac{△Φ}{R}$，求出小車前端剛進(jìn)入AB邊界時的速度，從而由機(jī)械能守恒求出此高度h′．

解答 解：（1）小車在斜軌上下滑的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得小車前端剛進(jìn)入AB邊界時產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的大小為：
E=nBav=100×1×0.01×5V=5V
（2）小車進(jìn)入磁場后作減速運(yùn)動，動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律得此過程中線圈產(chǎn)生的熱量為：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}$×2×5²=25J
（3）設(shè)小車前端剛進(jìn)入AB邊界時的速度為v₁，對于線圈進(jìn)出磁場過程，取向右為正方向，由動量定理得：
-nB$\overline{I}$at=-mv₁，
又通過線圈截面的電荷量為：q=$\overline{I}$t
聯(lián)立得：q=$\frac{m{v}_{1}}{nBa}$
根據(jù)q=n$\frac{△Φ}{R}$得線圈進(jìn)入磁場的過程，通過線圈截面的電荷量為：
q₁=n$\frac{B{a}^{2}}{r}$=100×$\frac{1×0.0{1}^{2}}{1}$=0.01C
則有：q=2q₁=0.02C
所以有：v₁=$\frac{nqBa}{m}$=$\frac{100×0.02×1×0.01}{2}$=0.01m/s
依據(jù)機(jī)械能守恒定律，則有：mgh′=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)，解得：h′=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{0.0{1}^{2}}{2×10}$=5×10^-6m
答：（1）小車前端剛進(jìn)入AB邊界時產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的大小5V．
（2）當(dāng)小車末端到達(dá)AB邊界時速度剛好減為零，此過程中線圈產(chǎn)生的熱量25J．
（3）再次改變小車釋放的高度，使得小車尾端剛好能到達(dá)CD處，此高度5×10^-6m．

點評 考查了機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律，及動量定理的內(nèi)容，掌握電量綜合表達(dá)式的推導(dǎo)，注意動量的矢量性，理解法拉第電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用．