Question

16．如圖所示，一個質(zhì)量為M，長為L的圓管豎直放置，頂端塞有一個質(zhì)量為m的彈性小球，M=4m，球和管間的滑動摩擦力與最大靜摩擦力大小均為4mg，管下端離地面高度H=5m．現(xiàn)讓管自由下落，運動過程中管始終保持豎直，落地時向上彈起的速度與落地時速度大小相等，若管第一次彈起上升過程中，球恰好沒有從管中滑出，不計空氣阻力，重力加速度g=10m/s²求：
（1）管第一次落地彈起剛離開地面時管與球的加速度分別多大？
（2）從管第一次落地彈起到球與管達到相同速度時所用的時間．
（3）圓管的長度L．

Answer 1

分析 （1）由運動學公式求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度；
（2）分別對管和球進行分析，由運動學公式可求得時間；
（3）根據(jù)速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移，即為管的至少長度．

解答 解：（1）管第一次落地彈起時，管的加速度大小為a₁，球的加速度大小為a₂
由牛頓第二定律
對管Mg+4mg=Ma₁…（1）
對球4mg-mg=ma₂…（2）
故${a_1}=20m/{s^2}$，方向向下…（3）
${a_2}=30m/{s^2}$方向向上…（4）
（2）球與管第一次碰地時，
由${v_0}=\sqrt{2gH}$…（5）
得碰后管速${v_1}=\sqrt{2gH}$，方向向上…（6）
碰后球速${v_2}=\sqrt{2gH}$，方向向下…（7）
球剛好沒有從管中滑出，設經(jīng)過時間t，球、管速度相同，則有
對管v=v₁-a₁t…（8）
對球v=-v₂+a₂t…（9）
代入數(shù)值聯(lián)立解得t=0.4s…（10）
（3）管經(jīng)t時間上升的高度為${h_1}={v_1}t-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$…（11）
球下降的高度${h_2}={v_2}t-\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$…（12）
管長L=h₁+h₂=4m…（13）
答：（1）管第一次落地彈起剛離開地面時管與球的加速度分別20m/s²和30m/s²；
（2）從管第一次落地彈起到球與管達到相同速度時所用的時間為0.4s．
（3）圓管的長度L為4m

點評 本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關(guān)鍵通過計算理清球和管的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．