Question

11．如圖所示，光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道與長(zhǎng)為L(zhǎng)=4.84m的水平傳送帶BC相切于B，傳送帶以v=2m/s的速度勻速向右傳動(dòng)．一質(zhì)量為m=2kg的小滑塊從軌道最高點(diǎn)A由靜止開始釋放．整個(gè)裝置放在風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中，小滑塊始終受到大小為F=6N、水平向左的恒定風(fēng)力的作用．當(dāng)小滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v₀=6m/s，當(dāng)它滑過(guò)B后，立即將圓弧軌道撤去．已知滑塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求圓弧軌道的半徑和小滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（2）小滑塊最終從哪邊離開傳送帶？求它在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）求滑塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦熱量．

Answer 1

分析 （1）物塊從A運(yùn)動(dòng)到B利用動(dòng)能定理求半徑，在b點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律和第三定律求壓力；
（2）物塊滑上傳送帶的速度為6m/s，大于傳送帶的速度，此時(shí)摩擦力向左，先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；達(dá)到共同速度后，摩擦力向右，且F＞μmg，繼續(xù)做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和速度時(shí)間、位移時(shí)間公式聯(lián)立求解；
（3）根據(jù)Q=f•△S求解摩擦產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）物塊從A運(yùn)動(dòng)到B根據(jù)動(dòng)能定理得：$mgR-FR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
代入數(shù)據(jù)解得：$R=\frac{18}{7}m$
在B點(diǎn)：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：F_N=48N
由牛頓第三定律得：小滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為；F_N′=48N
（2）物塊滑上傳送帶的速度為6m/s，大于傳送帶的速度，所以先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)
由牛頓第二定律得滑塊的加速度為：${a}_{1}=\frac{F+μmg}{m}=\frac{6+0.1×2×10}{2}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
根據(jù)速度時(shí)間公式v=v₀+at，
從到達(dá)B點(diǎn)到與皮帶達(dá)到共同速度所用時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}=\frac{6-2}{4}s=1s$
在此期間滑塊的位移為：${x}_{1}=\frac{1}{2}（{v}_{0}+v）{t}_{1}=4m＜4.84m$
之后滑塊繼續(xù)做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得滑塊的加速度為：${a}_{2}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{6-2×0.1×10}{2}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$
減速至零所用時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{2}{2}s=1s$
物塊滑行距離為：${x}_{2}=\frac{v}{2}{t}_{2}=\frac{2}{2}×1m=1m＞4.84-4m=0.84m$
所以物塊速度還未減為零已經(jīng)從C端離開．
設(shè)第二階段滑行時(shí)間為t₃
根據(jù)$x={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：
$L-{x}_{1}=v{t}_{3}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{3}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：t₃=0.6s或t₃=1.4s（舍去）
所用總時(shí)間為：t=t₁+t₃=1+0.6s=1.6s
（3）第一階段相對(duì)位移為：△x₁=x₁-vt₁=4-2×1m=2m
第二階段相對(duì)位移為：△x₂=vt₂-（L-x₁）=2×0.6-（4.84-4）m=0.36m
系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦熱量：：Q=μmg（△x₁+△x₂）=0.1×2×10×（2+0.36）J=4.72J
答：（1）求圓弧軌道的半徑為$\frac{18}{7}m$，小滑塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為48N；
（2）小滑塊最終從C端離開傳送帶，它在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為1.6s；
（3）系統(tǒng)產(chǎn)生的摩擦熱量為4.72J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．根據(jù)Q=f•△S列式求解系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量．