Question

8．如圖甲，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=37°角固定，M、P之間接電阻箱R，導軌所在空間存在勻強磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應強度為B=0.5T．質量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r．現從靜止釋放桿a b，測得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關系如圖乙所示．已知軌距為L=2m，重力加速度g取l0m/s²，軌道足夠長且電阻不計．求：

（1）桿a b下滑過程中感應電流的方向及R=0時最大感應電動勢E的大��；
（2）金屬桿的質量m和阻值r；
（3）當R=4Ω時，求回路瞬時電功率每增加1W的過程中合外力對桿做的功W．

Answer 1

分析 （1）由圖讀出R=0時桿ab的最大速度，由E=BLv求解感生電動勢E的大小，由右手定則判斷出桿中的電流方向；
（2）根據 E=BLv、I=$\frac{E}{R+r}$、F=BIL推導出安培力的表達式，當桿勻速運動時速度最大，由平衡條件得到最大速度v_m與R的關系式，根據圖象的斜率和縱截距求解金屬桿的質量m和阻值r；
（3）由E=BLv和P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到瞬時電功率增大量△P，根據動能定理求出合外力對桿做的功W．

解答 解：（1）由右手定則可知，桿中電流方向從b→a （或aMPba），
由圖示圖象可知，當R=0 時，桿最終以v=2m/s勻速運動，
產生電動勢：E=BLv=0.5×2×2=2V；
（2）設最大速度為v，桿切割磁感線產生的感應電動勢 E=BLv，
由閉合電路的歐姆定律：I=$\frac{E}{R+r}$，
桿達到最大速度時滿足：mgsinθ-BIL=0，
解得：v=$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$R+$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r．
由圖象可知：斜率為k=$\frac{4-2}{2}$=1m/（s•Ω），
縱截距為v₀=2m/s，得到：$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$r=v₀，$\frac{mgsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=k，
解得：m=$\frac{1}{6}$kg≈0.17kg，r=2Ω．
（3）感應電動勢：E=BLv，
功率：P=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{R+r}$，△P=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}^{2}}{R+r}$-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}^{2}}{R+r}$，
由動能定理得：W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²，W=$\frac{m（R+r）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$△P，
代入數據解得：W=0.5J．
答：（1）桿ab下滑過程中感應電流的方向：由b流向a，R=0時最大感應電動勢E的大小為2V；
（2）金屬桿的質量m為0.17kg，阻值r為2歐姆；
（3）當R=4Ω時，回路瞬時電功率每增加1W的過程中合外力對桿做的功W為0.5J．

點評 本題綜合考查了法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等，綜合性強，對學生能力的要求較高，其中安培力的分析和計算是關鍵．