Question

12．如圖所示，半徑為R的豎直光滑圓軌道內(nèi)側(cè)底部靜止著一個光滑小球，現(xiàn)給小球一個沖擊使它在瞬間得到一個水平初速度v₀，v₀大小不同則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）H也不同．下列說法中正確的是（　　）

• A． v₀=$\sqrt{gR}$時，H=$\frac{R}{2}$
• B． v₀=$\sqrt{3gR}$時，H=$\frac{3R}{2}$
• C． v₀=$\sqrt{4gR}$時，H=2R
• D． v₀=$\sqrt{5gR}$時，H=2R

Answer 1

分析 先根據(jù)機械能守恒定律求出在此初速度下能上升的最大高度，再根據(jù)向心力公式判斷在此位置速度能否等于零即可求解．

解答 解：A、當(dāng)v₀=$\sqrt{gR}$時，根據(jù)機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh，解得h=$\frac{R}{2}$，即小球上升到高度為$\frac{R}{2}$時速度為零，所以小球能夠上升的最大高度為$\frac{R}{2}$，故A正確；
B、設(shè)小球恰好運動到圓軌道最高點時，在最低點的速度為v₁，在最高點的速度為v₂，則在最高點，有mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$從最低點到最高點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₁²解得 v₁=$\sqrt{5gR}$所以v₀＜$\sqrt{5gR}$時，在小球不能上升到圓軌道的最高點，會脫離軌道最高點的速度不為零，根據(jù)$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh+$\frac{1}{2}$mv^′2，知最大高度 h＜$\frac{3R}{2}$，故B錯誤；
CD、由上分析知，當(dāng)v₀=$\sqrt{5gR}$時，上升的最大高度為2R，設(shè)小球恰好能運動到與圓心等高處時在最低點的速度為v，則根據(jù)機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²，解得v=$\sqrt{2gR}$，因為$\sqrt{2gR}$＜$\sqrt{4gR}$＜$\sqrt{5gR}$，在小球不能上升到圓軌道的最高點，會脫離軌道，則小球能夠上升的最大高度小于2R，故C錯誤，D正確．
故選：AD．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律在圓周運動中的運用，要判斷在豎直方向圓周運動中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零．要明確最高點臨界速度的求法：重力等于向心力．