Question

12．如圖所示，在xOy平面內(nèi)y軸與MN邊界之間有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，y軸左側(cè)和MN邊界右側(cè)的空間有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN邊界與y軸平行且間距保持不變．一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間均為t₀，粒子重力不計(jì)．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B；
（2）粒子回到原點(diǎn)O，其運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t=5t₀，求電場(chǎng)區(qū)域的寬度d 和此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₀；
（3）若帶電粒子能夠回到原點(diǎn)0，則電場(chǎng)強(qiáng)度E應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周期和運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系解得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)和洛倫茲力充當(dāng)向心力解答
（3）畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)和洛倫茲力充當(dāng)向心力以及動(dòng)能定理解答

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$…①
粒子每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)時(shí)間為半個(gè)周期：t₀=$\frac{T}{2}$…②
由①②解得：B=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$
（2）粒子t=5t₀回到原點(diǎn)，軌跡如圖，由幾何關(guān)系知2r₁=r₂
根據(jù)：qv₀B=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
$qB{v}_{2}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
電場(chǎng)寬度：d=$\frac{{v}_{0}+{v}_{2}}{2}{t}_{0}$
解得：d=$\frac{3{v}_{0}}{2}{t}_{0}$
又v₂=${v}_{0}+\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{0}$
解得：${E}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{q{t}_{0}}$
（3）如圖所示，由幾何關(guān)系知，要使粒子經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，應(yīng)滿足
n（2r${\;}_{2}^{′}$-2r₁）=2r₁，n=1，2，3，…
由：qBv′₂=$\frac{{mv}_{2}^{′2}}{r{′}_{2}}$
解得：$v{′}_{2}=\frac{n+1}{n}{v}_{0}$
根據(jù)動(dòng)能定理知：
Eqd=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{′2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：E=$\frac{（2n+1）m{v}_{0}}{3{n}^{2}q{t}_{0}}$（n=1，2，3，…）
答：（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{πm}{q{t}_{0}}$；
（2）若t=5t₀時(shí)粒子回到原點(diǎn)O，電場(chǎng)區(qū)域的寬度d=$\frac{3{v}_{0}}{2}{t}_{0}$，此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度${E}_{0}=\frac{m{v}_{0}}{q{t}_{0}}$；
（3）若帶電粒子能夠回到原點(diǎn)0，則電場(chǎng)強(qiáng)度為$\frac{（2n+1）m{v}_{0}}{3{n}^{2}q{t}_{0}}$（n=1，2，3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過(guò)受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)及圓周運(yùn)動(dòng)基本公式解答，難度適中．