Question

10．如圖所示，圓心為原點(diǎn)、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個(gè)區(qū)域，即圓內(nèi)區(qū)域Ⅰ和圓外區(qū)域Ⅱ．區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁．平行于x軸的熒光屏垂直于xOy平面，放置在坐標(biāo)y=-2.2R的位置．一束質(zhì)量為m、電荷量為q、動(dòng)能為E₀的帶正電粒子從坐標(biāo)為（-R，0）的A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，當(dāng)區(qū)域Ⅱ內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0，-2.2R）的M點(diǎn)，且此時(shí)，若將熒光屏沿y軸負(fù)方向平移，粒子打在熒光屏上的位置不變．若在區(qū)域Ⅱ內(nèi)加上方向垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，上述粒子仍從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，則粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0.4R，-2.2R）的N點(diǎn)．求
（1）打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大�。�
（2）在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁、B₂的大小和方向．
（3）若將區(qū)域Ⅱ中的磁場(chǎng)撤去，換成平行于x軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，仍從A點(diǎn)沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ的粒子恰好也打在熒光屏上的N點(diǎn)，則電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中洛倫茲力不做功，粒子的動(dòng)能不變，根據(jù)動(dòng)能的大小求出粒子的速度大�。�
（2）抓住粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0，-2.2R）的M點(diǎn)，根據(jù)熒光屏沿y軸負(fù)方向平移，粒子打在熒光屏上的位置不變，得出粒子在磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ中的軌跡，結(jié)合半徑公式求出磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，根據(jù)偏轉(zhuǎn)方向確定磁場(chǎng)的方向；根據(jù)粒子全部打在熒光屏上坐標(biāo)為（0.4R，-2.2R）的 N點(diǎn)，作出軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向．
（3）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度E．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力不做功，打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子動(dòng)能均為E₀，
速度v₁、v₂大小相等，設(shè)為v，由E₀=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$；
（2）如圖所示，區(qū)域Ⅱ中無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，粒子在區(qū)域Ⅰ中運(yùn)動(dòng)四分之一圓周后，
從C點(diǎn)沿y軸負(fù)方向打在M點(diǎn)，軌跡圓心是O₁點(diǎn)，半徑為：r₁=R，
區(qū)域Ⅱ有磁場(chǎng)時(shí)，粒子軌跡圓心是O₂點(diǎn)，半徑為r₂，由幾何關(guān)系得：
r₂²=（1.2R）²+（r₂-0.4R）²，解得：r₂=2R，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{mv}{qr}$，
故B₁=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{qR}$，方向：垂直xoy平面向外．
B₂=$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向：垂直xoy平面向里．
（3）區(qū)域Ⅱ中換成勻強(qiáng)電場(chǎng)后，粒子從C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，
則有：1.2R=vt，0.4R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，解得：E=$\frac{10{E}_{0}}{9qR}$；
答：（1）打在M點(diǎn)和N點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)速度v₁、v₂的大小均為$\sqrt{\frac{2{E}_{0}}{m}}$．
（2）在區(qū)域I和II中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為：$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{qR}$，方向：垂直xoy平面向外，B₂的大小為：$\frac{\sqrt{2m{E}_{0}}}{2qR}$，方向：垂直xoy平面向里．
（3）電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為大小為$\frac{10{E}_{0}}{9qR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定圓心、半徑和圓心角是基礎(chǔ)，通過(guò)半徑公式和周期公式，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題一般程序是：
  1、畫(huà)軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫(huà)出軌跡．
  2、找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．
  3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．