Question

18．一直角三棱鏡，截面如圖所示．∠A=30°，∠C=90°，BC邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$L，一很大的光屏MN平行于BC，豎直放置在相距BC為2L處，棱鏡材料的折射率n=$\sqrt{3}$，一簇平行于AC的平行光線射到AB面上．
（1）請(qǐng)畫出通過棱鏡的典型光路①、②并標(biāo)注或說明有關(guān)角度；
（2）求屏上被光照亮部分的豎直長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）平行光束經(jīng)棱鏡第一次折射后，可能射到AC面上，再?gòu)腂C面折射到光屏上．也可能直接射到BC面上，經(jīng)過第二次折射射到光屏上．畫出光路圖．
（2）根據(jù)折射定律求出折射角，結(jié)合光路圖和幾何知識(shí)求解屏上被光照亮部分的豎直長(zhǎng)度．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何關(guān)系得，射向AB中點(diǎn)D的光線入射角 α=60°，設(shè)折射角為β
由折射定律得 n=$\frac{sinα}{sinβ}$=$\sqrt{3}$，可得 β=30°，所以該光線經(jīng)過AB面折射后恰好通過C點(diǎn)．
設(shè)棱鏡的全反射臨界角為C，由sinC=$\frac{1}{n}$得 sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C＜60°
從AD間射入棱鏡的光線，射到AC面上時(shí)入射角為60°，大于C，所以這些光線在AC面上發(fā)生全反射，反射光線射到BC面上時(shí)入射角為30°，再射出BC面，光路如圖②所示．
從DC段入射的光線經(jīng)介質(zhì)折射后平行于DC，以30°的入射角射向BC，折射角為60°．光路如圖①所示．
（2）從DB段入射的光線經(jīng)棱鏡兩次折射后，照到光屏上的長(zhǎng)度為 L₁=BC=2$\sqrt{3}$L
從AD段入射的光線經(jīng)介質(zhì)平行于CD，以60°的入射角射向AC，在AC面上發(fā)生全反射后再以30°的入射角射向BC，折射角為60°，射到光屏上的長(zhǎng)度為 L₂=BC=2$\sqrt{3}$L
故屏上被光照亮部分的豎直長(zhǎng)度為 L=L₁+L₂=4$\sqrt{3}$L
答：
（1）畫出通過棱鏡的典型光路①、②如圖．
（2）屏上被光照亮部分的豎直長(zhǎng)度為4$\sqrt{3}$L．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是正確作出光路圖，注意分析臨界光線，當(dāng)光從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)時(shí)要考慮能否發(fā)生全反射，根據(jù)幾何知識(shí)和折射定律求解入射角和折射角．