Question

16．太空中存在一些離其它恒星很遠的、由三顆星組成的三星系統(tǒng)，可忽略其它星體對它們的引力作用．在太空中已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是直線三星系統(tǒng)，三顆星始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)，三顆星位于等邊三角形的三個頂點上．已知某直線三星系統(tǒng)P每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)Q的每顆星體的質(zhì)量恰好也均為m，現(xiàn)測出三星系統(tǒng)P外側(cè)的兩顆星作勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)Q每顆星作勻速圓周運動的周期相等．已知引力常量為G，忽略其它星體對三星的引力作用．則下列說法正確的是（　�。�

• A． 三星系統(tǒng)P外側(cè)兩顆星運動的線速度大小為$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{Gm}{R}}$
• B． 三星系統(tǒng)P外側(cè)兩顆星運動的角速度大小為$?=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5Gm}{R}}$
• C． 三星系統(tǒng)Q的運動周期為$T=4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$
• D． 三星系統(tǒng)Q任意兩顆星體中心間的距離為$L=\root{3}{{\frac{12}{5}}}R$

Answer 1

分析 明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源，根據(jù)牛頓第二定律列式分析即可．

解答 解：A、對三星系統(tǒng)P：三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；
其中邊上的一顆星受中央星和另一顆邊上星的萬有引力提供向心力：$G\frac{{m}^{2}}{{R}^{2}}+G\frac{{m}^{2}}{（2R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，解得$v=\sqrt{\frac{5Gm}{R}}$．
則T=$\frac{2πR}{v}=4πR\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$，$ω=\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{5Gm}{R}}$，三星系統(tǒng)P外側(cè)的兩顆星作勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)Q每顆星作勻速圓周運動的周期相等，故AB錯誤，C正確．
D、另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，
由萬有引力定律和牛頓第二定律得：$2\frac{G{m}^{2}}{{L}^{2}}cos30°=m\frac{L}{2cos30°}•（\frac{2π}{T}）^{2}$，
由于兩種系統(tǒng)的運動周期相同，即T=4πR$\sqrt{\frac{R}{5Gm}}$，解得：L=$\root{3}{\frac{12}{5}}R$，故D正確．
故選：CD．

點評 萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進行正確受力分析．