Question

16．如圖所示，坐標系xOy在豎直平面內，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．y＜0的區(qū)域有垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B；在第一象限的空間內有與x軸平行的勻強電場（圖中未畫出）；第四象限有與x軸同方向的勻強電場；第三象限也存在著勻強電場（圖中未畫出）．一個質量為m、電荷量為q的帶電微粒從第一象限的P點由靜止釋放，恰好能在坐標平面內沿與x軸成θ=30°角的直線斜向下運動，經過x軸上的a點進入y＜0的區(qū)域后開始做勻速直線運動，經過y軸上的b點進入x＜0的區(qū)域后做勻速圓周運動，最后通過x軸上的c點，且Oa=Oc．已知重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計．求：
（1）微粒的電性及第一象限電場的電場強度E₁；
（2）帶電微粒由P點運動到c點的過程中，其電勢能的變化量大��；
（3）帶電微粒從a點運動到c點所經歷的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在第四象限內做勻速直線運動，受重力、電場力和洛倫茲力平衡，知微粒帶正電，根據(jù)粒子在第一象限內，合力的方向沿Pa方向，可知電場力的方向，從而確定電場強度的方向，根據(jù)平行四邊形定則求出電場力大小，從而得出電場強度的大�。�
（2）根據(jù)電場力做功判斷電勢能的變化量，在）帶電粒子從a點運動到c點的過程中，速度大小不變，即動能不變，且重力做功為零，所以從a點運動到c點的過程中，電場力對帶電粒子做功為零．根據(jù)粒子在第四象限做勻速直線運動得出速度的大小，從而得出粒子在第一象限內做勻加速直線運動在x軸上的分速度，結合牛頓第二定律和運動學公式求出沿x軸方向上的位移，從而確定出粒子在第一象限內電場力做的功，根據(jù)整個過程電場力做功求出電勢能的變化量大�。�
（3）粒子在第三象限內做勻速直線運動，在第四象限內做勻速圓周運動，根據(jù)幾何關系，結合帶電粒子在第三象限內的位移和第四象限內的圓心角，分別求出在兩個象限內運動的時間，從而確定出總時間．

解答 解：（1）在第一象限內，帶電微粒從靜止開始沿Pa做勻加速直線運動，受重力mg和電場力qE₁的合力一定沿Pa方向，電場力qE₁一定水平向左．
帶電微粒在第四象限內受重力mg、電場力qE₂和洛侖茲力qvB做勻速直線運動，所受合力為零．分析受力可知微粒所受電場力一定水平向右，故微粒一定帶正電．
所以，在第一象限內E₁方向水平向左（或沿x軸負方向）．
根據(jù)平行四邊形定則，有 mg=qE₁tanθ 
解得 E₁=$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$  
（2）帶電粒子從a點運動到c點的過程中，速度大小不變，即動能不變，且重力做功為零，所以從a點運動到c點的過程中，電場力對帶電粒子做功為零．
由于帶電微粒在第四象限內所受合力為零，因此有  qvBcosθ=mg 
帶電粒子通過a點的水平分速度 v_x=vcosθ=$\frac{mg}{qB}$
帶電粒子在第一象限時的水平加速度 a_x=$\frac{q{E}_{1}}{m}$=$\sqrt{3}$g
帶電粒子在第一象限運動過程中沿水平方向的位移 x=$\frac{v_x^2}{2a}=\frac{{\sqrt{3}{m^2}g}}{{6{B^2}{q^2}}}$
由P點到a點過程中電場力對帶電粒子所做的功 W_電=qE₁x=$\frac{{{m^3}{g^2}}}{{2{B^2}{q^2}}}$
因此帶電微粒由P點運動到c點的過程中，電勢能的變化量大小
△E_電=$\frac{{{m^3}{g^2}}}{{2{B^2}{q^2}}}$
（3）在第三象限內，帶電微粒由b點到c點受重力mg、電場力qE₃和洛侖茲力qvB做勻速圓周運動，一定是重力與電場力平衡，所以有qE₃=mg 
設帶電微粒做勻速圓周運動的半徑為R，
根據(jù)牛頓第二定律，有  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$     
帶電微粒做勻速圓周運動的周期
T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
帶電微粒在第三象限運動的軌跡如圖所示，連接bc弦，因Oa=Oc，所以△abc為等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°．過b點做ab的垂線，與x軸交于d點，因∠Oba=60°，所以∠Obd=30°，因此△bcd為等腰三角形，bc弦的垂直平分線必交于軸上的d點，即d點為圓軌跡的圓心
所以帶電粒子在第四象限運動的位移x_ab=Rcotθ=$\sqrt{3}$R
其在第四象限運動的時間t₁=$\frac{{{x_{ab}}}}{v}=\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$
由上述幾何關系可知，帶電微粒在第三象限做勻速圓周運動轉過的圓心角為120°，即轉過$\frac{1}{3}$圓周，所以從b到c的運動時間  t₂=$\frac{T}{3}=\frac{2πm}{3qB}$
因此從a點運動到c點的時間  t=t₁+t₂=$\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$+$\frac{2πm}{3qB}$=$（\sqrt{3}+\frac{2π}{3}）\frac{m}{qB}$
答：
（1）微粒帶正電．第一象限電場的電場強度E₁的大小為$\frac{\sqrt{3}mg}{q}$，方向水平向左．
（2）帶電微粒由P點運動到c點的過程中，其電勢能的變化量大小為$\frac{{{m^3}{g^2}}}{{2{B^2}{q^2}}}$．
（3）帶電微粒從a點運動到c點所經歷的時間為$（\sqrt{3}+\frac{2π}{3}）\frac{m}{qB}$．

點評 帶電粒子在復合場中的運動是整個高中的重點，粒子運動過程中受力分析以及運動情況分析是解題的關鍵，同時要靈活運用幾何知識解答．