Question

20．現(xiàn)有一顆質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以半徑r₁的圓軌道環(huán)繞地球勻速飛行．已知地球質(zhì)量為M，萬(wàn)有引力常量為G．
（1）求：該衛(wèi)星運(yùn)行的線速度．
（2）如果該衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑增大為r₂，求：則衛(wèi)星上的發(fā)動(dòng)機(jī)所消耗的最小能量．（假設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量始終不變，不計(jì)空氣阻力及其它星體的影響．物體在萬(wàn)有引力場(chǎng)中具有的勢(shì)能叫做引力勢(shì)能．若取兩物體相距無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)的引力勢(shì)能為零，一個(gè)質(zhì)量為m₀的質(zhì)點(diǎn)到質(zhì)量為M₀的引力源中心的距離為r₀，其萬(wàn)有引力勢(shì)能E_p=-G$\frac{{m}_{0}{M}_{0}}{{r}_{0}}$，式中G為引力常量．）

Answer 1

分析 （1）萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律可以求出衛(wèi)星的線速度．
（2）求出衛(wèi)星的動(dòng)能，然后應(yīng)用能量守恒定律求出發(fā)電機(jī)做的功．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$；
（2）以衛(wèi)星與地球組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，根據(jù)能量守恒定律得：
W=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²+[-G$\frac{Mm}{{r}_{2}}$-（-G$\frac{Mm}{{r}_{1}}$）]，
解得：W=$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）；
答：（1）該衛(wèi)星運(yùn)行的線速度為$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$．
（2）衛(wèi)星上的發(fā)動(dòng)機(jī)所消耗的最小能量為$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道信息給予題，認(rèn)真審題，由題意獲取所需信息，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律、牛頓第二定律與能量守恒定律可以解題，本題難度不大．