Question

4．如圖所示為“嫦娥三號”發(fā)射示意圖．經過地月轉移軌道Ⅰ上的長途飛行后，“嫦娥三號”在距月面高度h₁處成功變軌，進入環(huán)月圓軌道Ⅱ．在該軌道上運行了約4天后，再次成功變軌，進入近月點高h₂、遠月點高h₁的橢圓軌道Ⅲ．此后，沿橢圓軌道通過近月點的“嫦娥三號”以v₀的速度實施動力下降．并成功實施軟著陸．已知月球的質量M，半徑R；引力常量G，地球的半徑R₀，質量為m的物體在距離月球球心r處具有的引力勢能E_P=-G$\frac{Mπ}{r}$．求：
（1）“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道上運行時的速率v
（2）“嫦娥三號”在繞月橢圓軌道上運動時通過遠月點時的速率v₁．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力，結合月球質量和“嫦娥三號”的軌道半徑求出“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道上運行時的速率．
（2）“嫦娥三號”在橢圓軌道上運動時只受月球引力作用，滿足機械能守恒，根據機械能守恒求出“嫦娥三號”在繞月橢圓軌道上運動時通過遠月點時的速率

解答 解：（1）據萬有引力提供圓周運動向心力有：$G\frac{Mm}{{（R+{h_1}{）^2}}}=m\frac{v^2}{{R+{h_1}}}$得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{{R+{h_1}}}}$
（2）嫦娥三號在橢圓軌道上運動時只受月球引力作用，滿足機械能守恒，由題意知嫦娥三號在近月點的速度為v₀．根據機械能守恒有：

$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+（-G\frac{Mm}{R+{h}_{2}}）$=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+（-G\frac{Mm}{R+{h}_{1}}）$，

解得：${v_1}=\sqrt{v_0^2+2GM（\frac{1}{{R+{h_1}}}一\frac{1}{{R+{h_2}}}）}$．
答：（1）“嫦娥三號”在環(huán)月圓軌道上運行時的速率為$\sqrt{\frac{GM}{R+{h}_{1}}}$；
（2）“嫦娥三號”在繞月橢圓軌道上運動時通過遠月點時的速率為$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+2GM（\frac{1}{R+{h}_{1}}-\frac{1}{R+{h}_{2}}）}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道嫦娥三號在橢圓軌道上運行時機械能守恒，難度不大．