Question

17．一宇航員在半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實(shí)驗(yàn)，用不可伸長(zhǎng)的長(zhǎng)為l輕繩栓一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點(diǎn)，如圖所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)恰好能在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知最高點(diǎn)速度為v₀．引力常量為G，忽略各種阻力，求：
（1）該行星的平均密度ρ．
（2）該行星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）小球在最高點(diǎn)時(shí)重力恰好提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式可以求解星球表面的重力加速度；最后根據(jù)密度的定義求解密度；
（2）行星的第一宇宙速度是星球表面衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)行星表面的重力加速度為g，對(duì)小球最高點(diǎn)，有：$mg=m\frac{{{v_0}^2}}{l}$
解得：g=$\frac{{{v_0}^2}}{l}$
對(duì)行星表面的物體m，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
故行星質(zhì)量：M=$\frac{{{R^2}{v_0}^2}}{Gl}$
由于M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³ρ，故行星的密度：
ρ=$\frac{{3{v_0}^2}}{4πGlR}$
（2）對(duì)處于行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星m，由牛頓第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
故第一宇宙速度為：v=$\sqrt{\frac{{R{v_0}^2}}{l}}$；
答：（1）該行星的平均密度ρ為$\frac{{3{v_0}^2}}{4πGlR}$．
（2）該行星的第一宇宙速度v為$\sqrt{\frac{{R{v_0}^2}}{l}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星類問(wèn)題，關(guān)鍵是明確衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)原理，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；同時(shí)要記住星球表面重力等于萬(wàn)有引力．