Question

15．北京獲得2022年冬季奧林匹克運(yùn)動會舉辦權(quán)，滑雪也漸漸成為人們喜愛的時尚運(yùn)動．如圖所示為某室內(nèi)滑雪場的滑道，AB為傾角θ₁=37°的斜坡滑道，BC為L=4m的水平滑道，CD為半徑R=10m、圓心角α=37°的圓弧滑道，DE為傾角θ₂=45°的斜坡滑道，滑道在B點和C點平滑連接．質(zhì)量m=60kg的滑雪者從h=9m處的P點由靜止出發(fā)，到達(dá)圓弧滑道最高點時恰好對滑道沒有壓力而騰空，在空中飛行一段時間后落在DE滑道上的Q點．已知滑雪者與滑道間的動摩擦因數(shù)μ=0.1，不計空氣阻力，滑雪者可視作成點，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑雪者落點Q與最高點D之間的距離：
（2）求滑雪者在圓弧滑道CD上損失的機(jī)城能：
（3）若滑雪者從更高處出發(fā)，則在圓弧滑道CD上損失機(jī)械能是增大還是減��？說明理由．

Answer 1

分析 （1）在最高點D時恰好對滑道沒有壓力，由重力提供向心力和平拋運(yùn)動規(guī)律可求滑雪者落點Q與最高點D之間的距離；
（2）利用動能定理結(jié)合功的計算可求滑雪者在圓弧滑道CD上損失的機(jī)城能；
（3）如果滑雪者從更高處出發(fā)，滑雪者在到達(dá)D前已經(jīng)脫離軌道騰空飛起，滑雪者在圓弧軌道上對軌道的壓力更小，摩擦力小，所以損失的機(jī)械能減小．

解答 解：（1）滑雪者在最高點D時恰好對滑道沒有壓力，設(shè)此時的速度為v，
由牛頓第二定律可得：mg=$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=10m/s
設(shè)滑雪者落點Q與最高點D之間的距離為x，空中運(yùn)動時間為t，由平拋運(yùn)動可知：
在水平方向上：xcosθ₂=vt
在豎直方向上：xsinθ₂=$\frac{1}{2}$gt²
代入數(shù)據(jù)解得：x=20$\sqrt{2}$m=28.3 m
（2）設(shè)滑雪者在AB滑道克服摩擦力做功W₁，在BC滑道克服摩擦力做功W₂，則：
W₁=μmgcosθ₁$\frac{h}{sin{θ}_{1}}$=720J
W₂=μmgL=240J
設(shè)滑雪者在圓弧滑道CD損失的機(jī)械能為W₃，從P到Q過程，
由動能定理得：mg[h-R（1-cosα）]-W₁-W₂-W₃=$\frac{1}{2}$mv²-0
代入數(shù)據(jù)解得：W₃=240J
（3）若滑雪者從更高處出發(fā)，則在圓弧軌道CD上損失的機(jī)械能是減小．
理由：①滑雪者在到達(dá)D前已經(jīng)脫離軌道騰空飛起；②滑雪者在圓弧軌道上對軌道的壓力更小．
答：（1）求滑雪者落點Q與最高點D之間的距離28.3 m；
（2）求滑雪者在圓弧滑道CD上損失的機(jī)城能是240J；
（3）在圓弧滑道CD上損失的機(jī)械能減�。�理由是：①滑雪者在到達(dá)D前已經(jīng)脫離軌道騰空飛起；②滑雪者在圓弧軌道上對軌道的壓力更�。�

點評 解答此題的關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動過程，再應(yīng)用動能定理、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動規(guī)律即可求速度、壓力、水平位移等．用動能定理解題時一定要注意運(yùn)過程中有那些力做功，做正功還是做負(fù)功．