Question

3．如圖所示，一固定斜面的傾角θ=37°，p點距斜面底端A點的距離x=5m．BC為一段光滑圓弧軌道，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道均固定于豎直平面內，兩軌道的半徑均為R=2m．滑板長L=7.1m，質量為M=1kg，靜止在光滑水平地面上，滑板上表面與斜面水平底邊的高度差H=4m，滑板右端緊靠C點，上表面恰能與兩圓弧相切于C點和D點，滑板左端到半圓形軌道下端D點的距離L'=3.3m．一物塊（可視為質點）質量m=1kg從斜面上的p點由靜止下滑，物塊離開斜面后恰在B點沿切線進入BC段圓弧軌道，經C點滑上滑板，滑板左端到達D點時立即被牢固粘連．物塊與斜面、物塊與滑板間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：

（1）物塊滑到C點的速率v_C；
（2）物塊滑到C點時對圓弧軌道的壓力大小N；
（3）物塊最終靜止時的位置到C點的距離S．

Answer 1

分析 （1）滑塊從靜止滑到C點過程，應用動能定理可以求出到達C點的速度；
（2）在C點，由重力和支持力的合力提供向心力，運用牛頓第二定律求出支持力，再得到物塊對軌道的壓力；
（3）應用牛頓第二定律和運動學位移公式求出滑塊與滑板的位移，然后判斷兩者共速時的位置關系，再求解物塊最終靜止時的位置到C點的距離S．

解答 解：（1）滑塊從靜止滑到C點過程，由動能定理可得：mg（xsinθ+H）-μmgxcosθ=$\frac{1}{2}mv_c^2$-0
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=10m/s
（2）在C點，重力和支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可得：N-mg=$m\frac{v_c^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=60N
由牛頓第三定律可知，物塊滑到C點時對圓弧軌道的壓力大小為60N．
（3）設物塊與滑板能達到共同速度v，即物塊未從滑板上落下來，滑板也未與D點相撞．
對物塊，由速度公式有：v=v_c-μgt
對滑板，由速度公式有：v=μgt
代入數(shù)據(jù)解得：t=1s； v=5m/s．
物塊的位移：S₁=$\frac{{{v_c}+v}}{2}t$=7.5m
滑板的位移：S₂=$\frac{0+v}{2}t$=2.5m
滑板的位移：S₂=2.5m＜L'=3.3m
滑板未到達D點，S_相=S₁-S₂=5m＜L=7.1m
物塊未從滑板上落下，達到共同速度后，物塊與滑板一起勻速運動距離0.8m滑板到達D點，滑板撞停后，物塊獨自勻減速運動到D點．
所以有：v_D²-v²=-2μg（L-S_相）
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2m/s
因為：v_D=2m/s＜$\sqrt{2gR}$
物塊不會脫軌，再次回到D點后做勻減速直線運動，設其向右減速的最大位移為S₃：則S₃=$\frac{v_D^2}{2μg}$=0.4m
物塊最終靜止時的位置到C點的距離：S=L+L'-S₃
解得：S=10m
答：（1）物塊滑到C點的速率v_C是10m/s；
（2）物塊滑到C點時對圓弧軌道的壓力大小N是60N；
（3）物塊最終靜止時的位置到C點的距離S是10m．

點評 本題是一道力學綜合題，關鍵要分析清楚物塊的運動情況，把握每個過程的物理規(guī)律，應用動能定理、牛頓第二定律和運動學規(guī)律解題．特別是第（2）問，解出了軌道對物體的支持力，必須用牛頓第三定律說明才能得到物體對軌道的壓力，這是很多同學容易忽略的問題．