Question

12．在水平面上放有兩個光滑的水平軌道，間距為l，左邊接有阻值為R的電阻，軌道平面內存在勻強磁場，垂直紙面向里，磁感應強度為B，有一根質量為m的導體棒以速度v0開始向右運動（除左邊電阻外其他電阻不計），導體棒向右移動的最遠距離為s．
（1）求該過程流過電阻的電荷量q；
（2）當導體棒運動到λs（0＜λ＜1）時，求電路中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式結合，即可求解電荷量q．
（2）根據動量定理求出導體棒運動到λs（0＜λ＜1）時的速度，再由能量守恒定律求解焦耳熱．

解答 解：（1）流過電阻的電荷量 q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}$t
而$\overline{E}$=Bl$\overline{v}$，則得q=$\frac{Bl\overline{v}t}{R}$
又 s=$\overline{v}$t
聯立得 q=$\frac{Bls}{R}$
（2）設當導體棒運動到λs（0＜λ＜1）時流過電阻的電荷量為q′．
則知 q′=$\frac{Bl•λs}{R}$
根據動量定理得：-B$\overline{I}$l•t=mv-mv₀，
又q′=$\overline{I}$•t，聯立得 v=v₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}λs}{Rm}$
故電路中產生的焦耳熱為 Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-（v₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}λs}{Rm}$）²=$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}λs{v}_{0}}{Rm}$-$\frac{{B}^{4}{l}^{4}{λ}^{2}{s}^{2}}{{R}^{2}{m}^{2}}$
答：
（1）該過程流過電阻的電荷量q是$\frac{Bls}{R}$；
（2）當導體棒運動到λs（0＜λ＜1）時，電路中產生的焦耳熱是$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}λs{v}_{0}}{Rm}$-$\frac{{B}^{4}{l}^{4}{λ}^{2}{s}^{2}}{{R}^{2}{m}^{2}}$．

點評 本題關鍵是推導出感應電荷量的表達式，明確電荷量與滑行距離的關系，也可以運用微元法進行分析．