Question

20．如圖所示，一個重為G的小球套在豎直放置的半徑為R的光滑圓環(huán)上，一個勁度系數(shù)為k、自然長度為L（L＜2R）的輕質(zhì)彈簧一端與小球相連，另一端固定在圓環(huán)的最高點上，求小球處于靜止狀態(tài)時，求彈簧與豎直方向的夾角θ的余弦值cosθ．

Answer 1

分析 以小球為研究對象，分析受力情況，作出力圖．根據(jù)平衡條件，運用三角形相似法得到彈簧的彈力大小，再由胡克定律和幾何知識求出彈簧與豎直方向的夾角θ．

解答 解：以小球為研究對象，分析受力情況：豎直向下的重力G，彈簧的彈力F，圓環(huán)的彈力N，N沿半徑方向背離圓心O，作出力圖如圖所示．利用合成法，將重力G和彈力N合成，合力F_合應與彈簧彈力F平衡．由圖看出，力的三角形△BCD與△AOB相似，設(shè)AB長度為l，由三角形相似得：
$\frac{mg}{F}=\frac{\overline{AO}}{AB}=\frac{R}{l}$，
即得：F=$\frac{mgl}{R}$，
又由胡克定律有F=k（l-L），而l=2Rcosθ?
聯(lián)立上述各式可得：cosθ=$\frac{kL}{2（kR-G）}$．
答：彈簧與豎直方向的夾角θ的余弦值為$\frac{kL}{2（kR-G）}$．

點評 本題中非直角類型的物體的平衡問題，采用數(shù)學上三角形相似法，將力的關(guān)系變成邊長的關(guān)系．也可以運用三角函數(shù)法求解．