Question

5．直流電動(dòng)機(jī)是一種使用直流電流的動(dòng)力裝置，是根據(jù)通電線圈在磁場中受到安培力的原理制成的．如圖1所所所示是一臺最簡單的直流電動(dòng)機(jī)模型示意圖，固定部分（定子）裝了一對磁極，旋轉(zhuǎn)部分（轉(zhuǎn)子）裝設(shè)圓柱形鐵芯，將abcd矩形導(dǎo)線框固定在轉(zhuǎn)子鐵芯上，能與轉(zhuǎn)子一起繞軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)．線框與鐵芯是絕緣的，線框通過換向器與直流電源連接．定子與轉(zhuǎn)子之間的空隙很小，可認(rèn)為磁場沿徑向分布，線框無論轉(zhuǎn)到什么位置，它的平面都跟磁感線平行，如圖2所示（側(cè)面圖）．已知ab、cd桿的質(zhì)量均為M、長度均為L，其它部分質(zhì)量不計(jì)，線框總電阻為R．電源電動(dòng)勢為E，內(nèi)阻不計(jì)．當(dāng)閉合開關(guān)S，線框由靜止開始在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)，線框所處位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．忽略一切阻力與摩擦． 

（1）求：閉合開關(guān)后，線框由靜止開始到轉(zhuǎn)動(dòng)速度達(dá)到穩(wěn)定的過程中，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的內(nèi)能Q_內(nèi)； 
（2）當(dāng)電動(dòng)機(jī)接上負(fù)載后，相當(dāng)于線框受到恒定的阻力，阻力不同電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度也不相同．求：ab、cd兩根桿的轉(zhuǎn)動(dòng)速度v多大時(shí)，電動(dòng)機(jī)的輸出功率P最大，并求出最大功率P_m．

Answer 1

分析 （1）線圈轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生反感應(yīng)電動(dòng)勢，當(dāng)產(chǎn)生的反感應(yīng)電動(dòng)勢與電動(dòng)勢相同時(shí)速度達(dá)到穩(wěn)定，根據(jù)積分原理即可求得電源輸出總能量好，根據(jù)能量守恒求得產(chǎn)生的內(nèi)能；
（2）產(chǎn)生反感應(yīng)電動(dòng)勢，回路中電流受到的安培力跟阻力相同時(shí)，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求得電動(dòng)機(jī)的輸出功率，即可判斷最大值

解答 解：設(shè)線框轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)ab，cd棒的最大速度為v′_m，產(chǎn)生的反電動(dòng)勢等于直流電源的電動(dòng)勢，即E=2BLv′_m，解得
$v{′}_{m}=\frac{E}{2BL}$
設(shè)ab，cd棒速度為v′時(shí)，線框回路中對應(yīng)的電流為I′，此時(shí)，兩棒所受到的安培力均為F′=BI′L，在△t→0時(shí)間內(nèi)，對一根棒應(yīng)用動(dòng)量定理可得F′△t=M△v′
即BLI′△t=M△v′
達(dá)到穩(wěn)定的過程中，BL∑（ I′△t）=Mv′_m-0
電源輸出的總能量為E_總=∑I′△t
聯(lián)立解得${E}_{總}=\frac{{E}^{2}M}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
線框穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)，動(dòng)能${E}_{k}=2×\frac{1}{2}{Mv}_{m}^{′2}=\frac{{E}^{2}M}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
有能量守恒E_總=Q_內(nèi)+E_k
解得${Q}_{內(nèi)}=\frac{{E}^{2}M}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）當(dāng)點(diǎn)擊加上負(fù)載后，設(shè)線框所受等效阻力為f，即電動(dòng)機(jī)輸出的動(dòng)力大小為f，設(shè)此時(shí)對應(yīng)的ab，cd桿的穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v″，則線框回路中電流$I″=\frac{E-2BLv″}{R}$，每根桿受到的安培力為$F″=I″BL=\frac{E-2BLv′′}{R}BL$，有平衡條件可知$f=2F″=2BL\frac{E-2BLv″}{R}$
電動(dòng)機(jī)的輸出功率為$P=fv″=2BLv″\frac{E-2BLv″}{R}$，當(dāng)v$″=\frac{E}{4BL}$時(shí)，功率最大為P=$\frac{{E}^{2}}{4R}$
答：（1）閉合開關(guān)后，線框由靜止開始到轉(zhuǎn)動(dòng)速度達(dá)到穩(wěn)定的過程中，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的內(nèi)能Q_內(nèi)為 $\frac{{E}^{2}M}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）ab、cd兩根桿的轉(zhuǎn)動(dòng)速度v為$\frac{E}{4BL}$時(shí)，電動(dòng)機(jī)的輸出功率P最大為$\frac{{E}^{2}}{4R}$

點(diǎn)評 本題主要考查了線圈轉(zhuǎn)動(dòng)過程中產(chǎn)生反感應(yīng)電動(dòng)勢，根據(jù)能量守恒和平衡條件即可判斷，關(guān)鍵是抓住線圈勻速的條件