Question

3．如圖所示，相距為d的平行金屬板M、N間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在xOy直角坐標(biāo)系平面內(nèi)，第一象限有沿y軸負(fù)方向場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限有垂直坐標(biāo)軸向外的半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)ODC．一質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子（不計(jì)重力）以初速度v₀沿平行于金屬板方向射入兩板間并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從P點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入第一象限，經(jīng)過(guò)x軸上的A點(diǎn)射出電場(chǎng)磁場(chǎng)．已知離子過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸成45°角，且A為半圓形磁場(chǎng)的圓心．求：
（1）金屬板M、N間的電壓U；
（2）離子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度v的大小和由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需要的時(shí)間t；
（3）試討論離子不從半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓弧ODC射出的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有電場(chǎng)力等于洛倫茲力，從而根據(jù)U=Ed，可確定金屬板M、N間的電壓U；
（2）離子在第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，由出射角度可得到入射速度與出射速度的關(guān)系；將類平拋運(yùn)動(dòng)分解x、y軸兩方向，再由牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可算出離子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度V的大小和由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需時(shí)間t；
（3）求出磁場(chǎng)的半徑，根據(jù)題意求出離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出磁場(chǎng)的臨界磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后確定其范圍．

解答 解：（1）設(shè)平行金屬板M、N間勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E₀，則有：U=E₀d，
因?yàn)殡x子在金屬板方向射入兩板間，并做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：
qE₀=qv₀B₀，解得，金屬板M、N間的電壓：U=B₀v₀d；
（2）離子在第一象限內(nèi)做平拋運(yùn)動(dòng)，
離子經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度大小：v=$\frac{{v}_{0}}{cos45°}$=$\sqrt{2}$v₀，
離子在豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
v_y=at=$\frac{qE}{m}$t=vsin45°，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{m{v}_{0}}{qE}$；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域半徑：R=OA=v₀t=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}$，
離子不從半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓弧ODC射出的臨界運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
離子不從半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓弧ODC射出的臨界軌道半徑：r=$\frac{1}{2}$R，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B₀=$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$，
離子不從半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓弧ODC射出的磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍是：B≥B₀=$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$．
答：（1）金屬板M、N間的電壓U為B₀v₀d；
（2）離子運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度v的大小和由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所需要的時(shí)間t為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qE}$；
（3）試討論離子不從半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的圓弧ODC射出的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍是：B≥$\frac{2\sqrt{2}E}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡時(shí)的勻速直線運(yùn)動(dòng)，僅僅由電場(chǎng)力做類平拋運(yùn)動(dòng)，還有僅僅由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，學(xué)會(huì)如何處理類平拋運(yùn)動(dòng)及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，形成一定的解題能力．同時(shí)注意幾何知識(shí)的熟練應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)洛倫茲力的方向的重要性．